Упр.18 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колмогоров, Абрамов, Дудницын 10 класс, Просвещение: 18. Докажите, что если натуральное число a не является полным квадратом, то va — иррациональное число.

Предположим противное: пусть $$\sqrt{a}$$ — рациональное число.

Тогда возможны два случая.

1. Если $$\sqrt{a}$$ — натуральное число, то существует натуральное $$n$$ такое, что

   $$\sqrt{a}=n,$$

   откуда

   $$a=(\sqrt{a})^2=n^2.$$

   Значит, $$a$$ является полным квадратом.

2. Если $$\sqrt{a}$$ — несократимая дробь, то

   $$\sqrt{a}=\frac{p}{q},$$

   где $$p$$ и $$q$$ — взаимно простые натуральные числа, $$q\neq 1$$.

   Тогда

   $$a=\left(\frac{p}{q}\right)^2=\frac{p^2}{q^2}.$$

   Но $$a$$ — натуральное число, значит, дробь $$\frac{p^2}{q^2}$$ должна быть целым числом. Это возможно только при $$q=1$$, что противоречит тому, что $$\sqrt{a}$$ — несократимая дробь.

Следовательно, предположение о рациональности $$\sqrt{a}$$ неверно. Значит, если натуральное число $$a$$ не является полным квадратом, то $$\sqrt{a}$$ — иррациональное число.

Ответ

$$\sqrt{a}$$ — иррациональное число.