Упр.18 Глава 1 Вопросы и задачи на повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
2) Пользуясь свойствами функции синус, расположите в порядке возрастания числа:
а) sin(0,3), sin(1,1), sin(-1,2); б) sin(4), sin(3,6), sin(2);
в) sin(0,4), sin(-0,9), sin(1,4); г) sin(4,3), sin(2,9), sin(1,9).
3) Исследуйте функцию и постройте ее график:
а) y=sin(x-?/4); б) y=sin(x/3);
в) y=1+1,5sin(x); г) y=sin(2x).
Основные свойства функции $$y=\sin x$$:
$$D(x)=\mathbb{R}, \quad E(y)=[-1;1];$$
функция нечётная; период $$T=2\pi;$$
пересекает оси в точках $$\left(\pi n;0\right), \left(0;0\right);$$
$$y>0$$ при $$x\in(2\pi n;\pi+2\pi n);$$
$$y<0$$ при $$x\in(-\pi+2\pi n;2\pi n);$$
возрастает на $$\left[-\frac{\pi}{2}+2\pi n;\frac{\pi}{2}+2\pi n\right];$$
убывает на $$\left[\frac{\pi}{2}+2\pi n;\frac{3\pi}{2}+2\pi n\right];$$
$$x_{\min}=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad y(x_{\min})=-1;$$
$$x_{\max}=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad y(x_{\max})=1.$$
В порядке возрастания:
а) $$\sin(-1{,}2);\ \sin 0{,}3;\ \sin 1{,}1;$$
так как $$-\frac{\pi}{2}<-1{,}2<0{,}3<1{,}1<\frac{\pi}{2},$$ то на этом промежутке функция $$\sin x$$ возрастает.
б) $$\sin 2;\ \sin 3{,}6;\ \sin 4;$$
так как $$\frac{\pi}{2}<2<3{,}6<4<\frac{3\pi}{2},$$ то на этом промежутке функция $$\sin x$$ убывает.
в) $$\sin(-0{,}9);\ \sin 0{,}4;\ \sin 1{,}4;$$
так как $$-\frac{\pi}{2}<-0{,}9<0{,}4<1{,}4<\frac{\pi}{2},$$ то функция $$\sin x$$ возрастает.
г) $$\sin 1{,}9;\ \sin 2{,}9;\ \sin 4{,}3;$$
так как $$\frac{\pi}{2}<1{,}9<2{,}9<4{,}3<\frac{3\pi}{2},$$ то функция $$\sin x$$ убывает.
Исследование функций:
а) $$y=\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right),\quad x\in\mathbb{R}.$$
$$E(y)=[-1;1],\quad T=2\pi;$$
$$y=0 \text{ при } x=\frac{\pi}{4}+\pi n;$$
$$y>0 \text{ при } x\in\left(\frac{\pi}{4}+2\pi n;\frac{5\pi}{4}+2\pi n\right);$$
$$y<0 \text{ при } x\in\left(-\frac{3\pi}{4}+2\pi n;\frac{\pi}{4}+2\pi n\right);$$
возрастает на $$\left[-\frac{\pi}{4}+2\pi n;\frac{3\pi}{4}+2\pi n\right];$$
убывает на $$\left[\frac{3\pi}{4}+2\pi n;\frac{7\pi}{4}+2\pi n\right];$$
$$x_{\min}=-\frac{\pi}{4}+2\pi n,\quad y(x_{\min})=-1;$$
$$x_{\max}=\frac{3\pi}{4}+2\pi n,\quad y(x_{\max})=1.$$
б) $$y=\sin\frac{x}{3},\quad x\in\mathbb{R}.$$
$$E(y)=[-1;1],\quad T=6\pi;$$
функция нечётная;
$$y=0 \text{ при } x=3\pi n;$$
$$y>0 \text{ при } x\in(6\pi n;3\pi+6\pi n);$$
$$y<0 \text{ при } x\in(-3\pi+6\pi n;6\pi n);$$
возрастает на $$\left[-\frac{3\pi}{2}+6\pi n;\frac{3\pi}{2}+6\pi n\right];$$
убывает на $$\left[\frac{3\pi}{2}+6\pi n;\frac{9\pi}{2}+6\pi n\right];$$
$$x_{\min}=-\frac{3\pi}{2}+6\pi n,\quad y(x_{\min})=-1;$$
$$x_{\max}=\frac{3\pi}{2}+6\pi n,\quad y(x_{\max})=1.$$
в) $$y=1+1{,}5\sin x,\quad x\in\mathbb{R}.$$
$$E(y)=[-0{,}5;2{,}5],\quad T=2\pi;$$
$$y(0)=1+1{,}5\sin 0=1;$$
$$y=0 \text{ при } x=(-1)^{n+1}\arcsin\frac{2}{3}+\pi n;$$
$$y>0 \text{ при } x\in\left(-\arcsin\frac{2}{3}+2\pi n;\pi+\arcsin\frac{2}{3}+2\pi n\right);$$
$$y<0 \text{ при } x\in\left(-\pi+\arcsin\frac{2}{3}+2\pi n;-\arcsin\frac{2}{3}+2\pi n\right);$$
возрастает на $$\left[-\frac{\pi}{2}+2\pi n;\frac{\pi}{2}+2\pi n\right];$$
убывает на $$\left[\frac{\pi}{2}+2\pi n;\frac{3\pi}{2}+2\pi n\right];$$
$$x_{\min}=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad y(x_{\min})=-0{,}5;$$
$$x_{\max}=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad y(x_{\max})=2{,}5.$$
г) $$y=\sin 2x,\quad x\in\mathbb{R}.$$
$$E(y)=[-1;1],\quad T=\pi;$$
функция нечётная;
$$y=0 \text{ при } x=\frac{\pi n}{2};$$
$$y>0 \text{ при } x\in(\pi n;\frac{\pi}{2}+\pi n);$$
$$y<0 \text{ при } x\in\left(\frac{\pi}{2}+\pi n;\pi+\pi n\right);$$
возрастает на $$\left[-\frac{\pi}{4}+\pi n;\frac{\pi}{4}+\pi n\right];$$
убывает на $$\left[\frac{\pi}{4}+\pi n;\frac{3\pi}{4}+\pi n\right];$$
$$x_{\min}=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad y(x_{\min})=-1;$$
$$x_{\max}=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad y(x_{\max})=1.$$
Ответ
1) $$D(x)=\mathbb{R},\ E(y)=[-1;1],\ T=2\pi,$$ функция нечётная, основные промежутки возрастания и убывания указаны выше.
2) а) $$\sin(-1{,}2)<\sin 0{,}3<\sin 1{,}1.$$ б) $$\sin 4<\sin 3{,}6<\sin 2.$$ в) $$\sin(-0{,}9)<\sin 0{,}4<\sin 1{,}4.$$ г) $$\sin 4{,}3<\sin 2{,}9<\sin 1{,}9.$$
3) Свойства и графики функций: а) $$y=\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right);$$ б) $$y=\sin\frac{x}{3};$$ в) $$y=1+1{,}5\sin x;$$ г) $$y=\sin 2x.$$
