Упр.179 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) vcos(?) < v2cos(?/2), если -?/2 < ? < ?/2; б) sin^4(?)+cos^4(?)?1/2, при любом ?.

а) Пусть $$-\frac{\pi}{2}<\varphi<\frac{\pi}{2}.$$ Тогда $$\cos\varphi>0,$$ и можно возвести обе части неравенства в квадрат:

$$\sqrt{\cos\varphi}<\sqrt{2}\cos\frac{\varphi}{2} \iff \cos\varphi<2\cos^2\frac{\varphi}{2}.$$

По формуле двойного угла

$$2\cos^2\frac{\varphi}{2}=1+\cos\varphi.$$

Следовательно, нужно доказать, что

$$\cos\varphi<1+\cos\varphi,$$

а это верно, так как $$1>0.$$

б) Используем формулу

$$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1.$$

Тогда

$$\sin^4\alpha+\cos^4\alpha=(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha)^2-2\sin^2\alpha\cos^2\alpha$$

$$=1-2\sin^2\alpha\cos^2\alpha.$$

Так как $$\sin^2\alpha\cos^2\alpha\le \frac14,$$ то

$$\sin^4\alpha+\cos^4\alpha \ge 1-2\cdot\frac14=\frac12.$$

Что и требовалось доказать.

Ответ

а) $$\sqrt{\cos\varphi}<\sqrt{2}\cos\frac{\varphi}{2}$$ при $$-\frac{\pi}{2}<\varphi<\frac{\pi}{2};$$
б) $$\sin^4\alpha+\cos^4\alpha\ge \frac12$$ при любом $$\alpha.$$