Упр.177 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) 2log(2; x) < 2+log(2; x+3); б) log(1/6; 10-x)+log(1/6; x-3)?-1; в) log(1/3; x-2)+log(1/3; 12-x)?-2; г) log(0,5; 4-x)?log(0,5; 2)-log(0,5; x-1).

а) $$2\log_2 x<2+\log_2(x+3).$$

Преобразуем левую часть:

$$\log_2 x^2<\log_2\bigl(4(x+3)\bigr).$$

Так как основание логарифма больше 1, получаем:

$$x^2<4x+12,$$

$$x^2-4x-12<0,$$

$$ (x+2)(x-6)<0.$$

С учётом области определения $$x>0$$ имеем:

$$0<x<6.$$

б) $$\log_{\frac16}(10-x)+\log_{\frac16}(x-3)\ge -1.$$

Объединим логарифмы:

$$\log_{\frac16}\bigl((10-x)(x-3)\bigr)\ge \log_{\frac16}6.$$

Так как основание $$\frac16<1,$$ знак неравенства меняется:

$$ (10-x)(x-3)\le 6.$$

$$-x^2+13x-30\le 6,$$

$$x^2-13x+36\ge 0,$$

$$ (x-4)(x-9)\ge 0.$$

С учётом области определения:

$$10-x>0,\quad x-3>0,$$

$$3<x<10.$$

Тогда

$$x\in(3;4]\cup[9;10).$$

в) $$\log_{\frac13}(x-2)+\log_{\frac13}(12-x)\ge -2.$$

Объединим логарифмы:

$$\log_{\frac13}\bigl((x-2)(12-x)\bigr)\ge \log_{\frac13}9.$$

Так как основание $$\frac13<1,$$ знак неравенства меняется:

$$ (x-2)(12-x)\le 9.$$

$$-x^2+14x-24\le 9,$$

$$x^2-14x+33\ge 0,$$

$$ (x-3)(x-11)\ge 0.$$

С учётом области определения:

$$x>2,\quad x<12.$$

Получаем

$$x\in(2;3]\cup[11;12).$$

г) $$\log_{0,5}(4-x)\ge \log_{0,5}2-\log_{0,5}(x-1).$$

Преобразуем правую часть:

$$\log_{0,5}(4-x)\ge \log_{0,5}\frac{2}{x-1}.$$

Так как основание $$0,5<1,$$ знак неравенства меняется:

$$4-x\le \frac{2}{x-1}.$$

Приведём к одной дроби:

$$\frac{(4-x)(x-1)-2}{x-1}\le 0,$$

$$\frac{-x^2+5x-6}{x-1}\le 0,$$

$$\frac{(x-2)(x-3)}{x-1}\ge 0.$$

Область определения:

$$4-x>0,\quad x-1>0,$$

$$1<x<4.$$

Решение неравенства на этой области:

$$x\in(1;2]\cup[3;4).$$

Ответ

а) $$ (0;6) $$

б) $$ (3;4]\cup[9;10) $$

в) $$ (2;3]\cup[11;12) $$

г) $$ (1;2]\cup[3;4) $$