Упр.176 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колмогоров, Абрамов, Дудницын 10 класс, Просвещение: 176. Докажите, что уравнение (sin(x)+v3cos(x))sin(4x)=2 не имеет решений.

Подробный ответ

Преобразуем левую часть уравнения:

$$ (\sin x+\sqrt{3}\cos x)\sin 4x=2 $$
$$ 2\left(\frac12\sin x+\frac{\sqrt{3}}2\cos x\right)\sin 4x=2 $$
$$ \left(\cos\frac{\pi}{3}\sin x+\sin\frac{\pi}{3}\cos x\right)\sin 4x=1 $$
$$ \sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)\sin 4x=1 $$

Используем формулу произведения в сумму:

$$ \sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)\sin 4x =\frac12\left(\cos\left(3x-\frac{\pi}{3}\right)-\cos\left(5x+\frac{\pi}{3}\right)\right) $$

Тогда

$$ \cos\left(3x-\frac{\pi}{3}\right)-\cos\left(5x+\frac{\pi}{3}\right)=2 $$

Но разность двух косинусов не может быть равна $2$, так как каждый косинус лежит в промежутке $$[-1;1].$$ Максимально возможное значение выражения

$$ \cos\left(3x-\frac{\pi}{3}\right)-\cos\left(5x+\frac{\pi}{3}\right) $$
равно $$1-(-1)=2,$$ и оно достигается только при одновременном выполнении условий

$$ \cos\left(3x-\frac{\pi}{3}\right)=1,\qquad \cos\left(5x+\frac{\pi}{3}\right)=-1. $$

Проверим, возможно ли это:

$$ 3x-\frac{\pi}{3}=2\pi n,\qquad 5x+\frac{\pi}{3}=\pi+2\pi m,\qquad n,m\in\mathbb Z. $$

Отсюда

$$ x=\frac{\pi}{9}+\frac{2\pi n}{3} $$
и
$$ x=\frac{2\pi}{15}+\frac{2\pi m}{5}. $$

Приравнивая эти выражения, получаем противоречие, так как такие значения $x$ не совпадают одновременно для целых $n$ и $m$. Следовательно, равенство

$$ (\sin x+\sqrt{3}\cos x)\sin 4x=2 $$
невозможно.