Упр.176 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
а) log(2; x^2-x-4) < 3; б) log(v3-1; 5-2x) > 2;
в) lg(x^2-x+8)?1; г) log(v7-1; 3-2x) < 2.
а) $$\log_2(x^2-x-4)<3$$
Так как основание $$2>1$$, получаем:
$$x^2-x-4<2^3=8$$
$$x^2-x-12<0$$
$$ (x+3)(x-4)<0 \Rightarrow -3<x<4 $$
Учитываем область определения:
$$x^2-x-4>0$$
$$x^2-x-4=0$$
$$D=1+16=17$$
$$x_{1,2}=\frac{1\pm\sqrt{17}}{2}$$
Тогда
$$x<\frac{1-\sqrt{17}}{2}\quad \text{или}\quad x>\frac{1+\sqrt{17}}{2}$$
Пересекаем с $$-3<x<4$$:
$$\left(-3;\frac{1-\sqrt{17}}{2}\right)\cup\left(\frac{1+\sqrt{17}}{2};4\right)$$
б) $$\log_{\sqrt3-1}(5-2x)>2$$
Так как $$0<\sqrt3-1<1$$, знак неравенства при переходе к показательной форме меняется:
$$5-2x<(\sqrt3-1)^2$$
$$5-2x<4-2\sqrt3$$
$$2x>1+2\sqrt3$$
$$x>\frac{1+2\sqrt3}{2}$$
ОДЗ: $$5-2x>0 \Rightarrow x<\frac52$$.
Итак,
$$\left(\frac{1+2\sqrt3}{2};\frac52\right)$$
в) $$\lg(x^2-x+8)\ge 1$$
Так как основание $$10>1$$, имеем:
$$x^2-x+8\ge 10$$
$$x^2-x-2\ge 0$$
$$ (x+1)(x-2)\ge 0 $$
Отсюда
$$x\le -1 \quad \text{или}\quad x\ge 2$$
Ответ:
$$(-\infty;-1]\cup[2;+\infty)$$
г) $$\log_{\sqrt7-1}(3-2x)<2$$
Так как $$\sqrt7-1>1$$, получаем:
$$3-2x<(\sqrt7-1)^2$$
$$3-2x<8-2\sqrt7$$
$$2x>{2\sqrt7-5}$$
$$x>\frac{2\sqrt7-5}{2}=\sqrt7-\frac52$$
ОДЗ: $$3-2x>0 \Rightarrow x<\frac32$$.
Следовательно,
$$\left(\sqrt7-\frac52;\frac32\right)$$
Ответ
а) $$\left(-3;\frac{1-\sqrt{17}}{2}\right)\cup\left(\frac{1+\sqrt{17}}{2};4\right)$$; б) $$\left(\frac{1+2\sqrt3}{2};\frac52\right)$$; в) $$(-\infty;-1]\cup[2;+\infty)$$; г) $$\left(\sqrt7-\frac52;\frac32\right)$$.
