Упр.176 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
Совет дня!Сайт решак.ру отлично работает на мобильных телефонах, им можно успешно пользоваться во время урока. Телефон хорошо прячется за учебником или рукавом. Или можно сказать, что забыли учебник дома, а на телефоне у вас электронный.
а) Обозначим $$a=\sin x,$$ $$b=\cos y.$$ Тогда система принимает вид
$$ \begin{cases} a-b=0,\\ a^2+b^2=2. \end{cases} $$
Из первого уравнения $$b=a.$$ Подставим во второе:
$$ a^2+a^2=2 \Rightarrow 2a^2=2 \Rightarrow a^2=1. $$
Значит, $$a=\pm 1,$$ то есть возможны два случая:
$$ \sin x=1,\ \cos y=1 $$
или
$$ \sin x=-1,\ \cos y=-1. $$
Отсюда получаем:
$$ \begin{cases} x=\dfrac{\pi}{2}+2\pi n,\\ y=2\pi k, \end{cases} \quad n,k\in\mathbb Z $$
или
$$ \begin{cases} x=-\dfrac{\pi}{2}+2\pi n,\\ y=\pi+2\pi k, \end{cases} \quad n,k\in\mathbb Z. $$
б) Из первого уравнения выразим $$y$$:
$$ y=\dfrac{\pi}{4}-x. $$
Подставим во второе:
$$ \tg x\cdot \tg\left(\dfrac{\pi}{4}-x\right)=\dfrac16. $$
Используем формулу:
$$ \tg\left(\dfrac{\pi}{4}-x\right)=\dfrac{1-\tg x}{1+\tg x}. $$
Тогда
$$ \tg x\cdot \dfrac{1-\tg x}{1+\tg x}=\dfrac16. $$
Умножим на $$6(1+\tg x):$$
$$ 6\tg x(1-\tg x)=1+\tg x. $$
$$ 6\tg x-6\tg^2 x=1+\tg x $$
$$ 6\tg^2 x-5\tg x+1=0. $$
Пусть $$t=\tg x.$$ Тогда
$$ 6t^2-5t+1=0. $$
$$ D=25-24=1, $$
$$ t_{1,2}=\dfrac{5\pm 1}{12}. $$
Следовательно,
$$ t_1=\dfrac13,\qquad t_2=\dfrac12. $$
Значит,
$$ x=\arctg\dfrac13+\pi n $$
или
$$ x=\arctg\dfrac12+\pi n,\quad n\in\mathbb Z. $$
Тогда
$$ y=\dfrac{\pi}{4}-\arctg\dfrac13-\pi n $$
или
$$ y=\dfrac{\pi}{4}-\arctg\dfrac12-\pi n,\quad n\in\mathbb Z. $$
в) Из системы
$$ \begin{cases} \sin x+\cos y=1,\\ \sin^2 x-\cos^2 y=1 \end{cases} $$
получаем
$$ (\sin x+\cos y)(\sin x-\cos y)=1. $$
Так как $$\sin x+\cos y=1,$$ то
$$ \sin x-\cos y=1. $$
Решаем систему
$$ \begin{cases} \sin x+\cos y=1,\\ \sin x-\cos y=1. \end{cases} $$
Складываем уравнения:
$$ 2\sin x=2 \Rightarrow \sin x=1 \Rightarrow x=\dfrac{\pi}{2}+2\pi n. $$
Вычитаем второе из первого:
$$ 2\cos y=0 \Rightarrow \cos y=0 \Rightarrow y=\dfrac{\pi}{2}+\pi k, \quad n,k\in\mathbb Z. $$
г) Из первого уравнения
$$ x-y=\dfrac{\pi}{6}\Rightarrow x=y+\dfrac{\pi}{6}. $$
Подставим во второе:
$$ 2\sin\left(y+\dfrac{\pi}{6}\right)\cos y=1. $$
Раскроем синус суммы:
$$ 2\left(\sin y\cos\dfrac{\pi}{6}+\cos y\sin\dfrac{\pi}{6}\right)\cos y=1. $$
$$ 2\left(\dfrac{\sqrt3}{2}\sin y+\dfrac12\cos y\right)\cos y=1 $$
$$ \sqrt3\sin y\cos y+\cos^2 y=1. $$
Так как $$1=\sin^2 y+\cos^2 y,$$ то
$$ \sqrt3\sin y\cos y=\sin^2 y. $$
Если $$\sin y=0,$$ то равенство выполняется. Если $$\sin y\neq 0,$$ делим на $$\sin y$$:
$$ \sqrt3\cos y=\sin y \Rightarrow \tg y=\sqrt3. $$
Отсюда
$$ y=\dfrac{\pi}{3}+\pi n $$
или
$$ y=\pi k,\quad n,k\in\mathbb Z. $$
Тогда
$$ x=\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{\pi}{3}+\pi n=\dfrac{\pi}{2}+\pi n $$
или
$$ x=\dfrac{\pi}{6}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z. $$
Ответ
а) $$\begin{cases}x=\dfrac{\pi}{2}+2\pi n,\\ y=2\pi k,\end{cases}\quad n,k\in\mathbb Z$$ или $$\begin{cases}x=-\dfrac{\pi}{2}+2\pi n,\\ y=\pi+2\pi k,\end{cases}\quad n,k\in\mathbb Z.$$
б) $$x=\arctg\dfrac13+\pi n,\ y=\dfrac{\pi}{4}-\arctg\dfrac13-\pi n$$ или $$x=\arctg\dfrac12+\pi n,\ y=\dfrac{\pi}{4}-\arctg\dfrac12-\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
в) $$x=\dfrac{\pi}{2}+2\pi n,\ y=\dfrac{\pi}{2}+\pi k,\quad n,k\in\mathbb Z.$$
г) $$\begin{cases}x=\dfrac{\pi}{2}+\pi n,\\ y=\dfrac{\pi}{3}+\pi n,\end{cases}$$ или $$\begin{cases}x=\dfrac{\pi}{6}+\pi k,\\ y=\pi k,\end{cases}\quad n,k\in\mathbb Z.$$
