Упр.175 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колмогоров, Абрамов, Дудницын 10 класс, Просвещение: 175. Решите уравнение 8sin(x)=v3/cos(x)+1/sin(x).

$$8\sin x=\frac{\sqrt3}{\cos x}+\frac1{\sin x}$$

Умножим обе части на $$\sin x\cos x$$:

$$8\sin^2 x\cos x=\sqrt3\sin x+\cos x.$$

Преобразуем левую часть:

$$8\sin^2 x\cos x=4\sin 2x\sin x.$$

Тогда

$$4\sin 2x\sin x=\sqrt3\sin x+\cos x.$$

Используем формулы приведения:

$$\sqrt3\sin x+\cos x=2\left(\frac12\cos x+\frac{\sqrt3}{2}\sin x\right)=2\cos\left(x-\frac{\pi}{3}\right).$$

Кроме того,

$$4\sin 2x\sin x=2(\cos x-\cos 3x).$$

Получаем:

$$2(\cos x-\cos 3x)=2\cos\left(x-\frac{\pi}{3}\right),$$

$$\cos x-\cos\left(x-\frac{\pi}{3}\right)=\cos 3x.$$

Применим формулу разности косинусов:

$$-2\sin\left(x-\frac{\pi}{6}\right)\sin\frac{\pi}{6}=\cos 3x,$$

то есть

$$-\sin\left(x-\frac{\pi}{6}\right)=\cos 3x.$$

Запишем левую часть через косинус:

$$\sin\left(\frac{\pi}{2}-\left(x-\frac{\pi}{6}\right)\right)=\cos 3x,$$

$$\cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)-\cos 3x=0.$$

Теперь используем формулу разности косинусов:

$$2\sin\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)\sin\left(x-\frac{\pi}{6}\right)=0.$$

Отсюда

$$\sin\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)=0 \quad \text{или} \quad \sin\left(x-\frac{\pi}{6}\right)=0.$$

1) $$2x+\frac{\pi}{6}=\pi n,$$ значит

$$x=-\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2}, \quad n\in\mathbb Z.$$

2) $$x-\frac{\pi}{6}=\pi n,$$ значит

$$x=\frac{\pi}{6}+\pi n, \quad n\in\mathbb Z.$$

Обе серии решений удовлетворяют области определения исходного уравнения.

Ответ

$$x=-\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2}, \quad x=\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$