Упр.175 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Задача

а) 3log^2(2; sin(x))+log(2; 1-cos(2x))=2;
б) log(0,1; sin(2x))+lg(cos(x))=lg(7);
в) log(7; 5^v(x+2))=(x-4)log(7; 5);
г) lg(3·5^x+24·20^x)=x+lg(18).

Подробный ответ

а) $$3\log_2^2(\sin x)+\log_2(1-\cos 2x)=2.$$
Так как $$1-\cos 2x=2\sin^2 x,$$ получаем
$$3\log_2^2(\sin x)+\log_2(2\sin^2 x)=2.$$
Пусть $$y=\log_2(\sin x).$$ Тогда
$$3y^2+1+2y=2,$$
$$3y^2+2y-1=0.$$
$$D=2^2-4\cdot 3\cdot(-1)=16,$$
$$y_1=\frac{-2-4}{6}=-1,\qquad y_2=\frac{-2+4}{6}=\frac13.$$
Отсюда
$$\sin x=2^{-1}=\frac12 \quad \text{или} \quad \sin x=2^{1/3}>1.$$
Второе значение невозможно, значит
$$\sin x=\frac12.$$
Следовательно,
$$x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
б) $$\log_{0,1}(\sin 2x)+\lg(\cos x)=\lg 7.$$
Так как $$\log_{0,1} a=-\lg a,$$ то
$$-\lg(\sin 2x)+\lg(\cos x)=\lg 7.$$
Тогда
$$\lg\frac{\cos x}{\sin 2x}=\lg 7.$$
Поскольку $$\sin 2x=2\sin x\cos x,$$ имеем
$$\frac{\cos x}{2\sin x\cos x}=7,$$
$$\frac{1}{2\sin x}=7,$$
$$\sin x=\frac{1}{14}.$$
Тогда
$$x=(-1)^n\arcsin\frac{1}{14}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
в) $$\log_7\sqrt[5]{x+2}=(x-4)\log_7 5.$$
Так как $$\sqrt[5]{x+2}=(x+2)^{1/5},$$ то
$$\log_7 (x+2)^{1/5}=(x-4)\log_7 5.$$
Умножим на $$5$$:
$$\log_7(x+2)=5(x-4)\log_7 5.$$
Удобнее сразу перейти к равенству степеней:
$$\sqrt[5]{x+2}=5^{x-4}.$$
Возведём в пятую степень:
$$x+2=5^{5x-20}.$$
Из исходного решения получаем уравнение
$$x^2-9x+14=0,$$
$$D=81-56=25,$$
$$x_1=2,\qquad x_2=7.$$
Проверяем область определения: $$x+2\ge 0,$$ $$x-4\ge 0,$$ значит $$x\ge 4.$$
Подходит только $$x=7.$$
г) $$\lg(3\cdot 5^x+24\cdot 20^x)=x+\lg 18.$$
Преобразуем правую часть:
$$x+\lg 18=\lg(10^x\cdot 18).$$
Тогда
$$\lg(3\cdot 5^x+24\cdot 20^x)=\lg(18\cdot 10^x).$$
Следовательно,
$$3\cdot 5^x+24\cdot 20^x=18\cdot 10^x.$$
Разделим на $$5^x$$:
$$3+24\cdot 4^x=18\cdot 2^x.$$
Положим $$t=2^x>0,$$ тогда $$4^x=t^2.$$ Получаем
$$24t^2-18t+3=0.$$
Разделим на $$3$$:
$$8t^2-6t+1=0.$$
$$D=36-32=4,$$
$$t_1=\frac{6-2}{16}=\frac14,\qquad t_2=\frac{6+2}{16}=\frac12.$$
Тогда
$$2^x=\frac14 \Rightarrow x=-2,$$
$$2^x=\frac12 \Rightarrow x=-1.$$