Упр.173 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колмогоров, Абрамов, Дудницын 10 класс, Просвещение: 173. Решите уравнение 2cos(x/10)=2^x+2^(-x).

Рассмотрим уравнение

$$2\cos\frac{x}{10}=2^x+2^{-x}.$$

По неравенству между средним арифметическим и геометрическим для положительных чисел имеем

$$2^x+2^{-x}\ge 2\sqrt{2^x\cdot 2^{-x}}=2.$$

Равенство достигается тогда и только тогда, когда

$$2^x=2^{-x},$$

откуда

$$x=0.$$

С другой стороны, так как $$\cos\frac{x}{10}\le 1,$$ то

$$2\cos\frac{x}{10}\le 2.$$

Чтобы равенство в исходном уравнении было возможно, обе части должны быть равны 2. Значит, нужно, чтобы

$$2\cos\frac{x}{10}=2 \quad \text{и} \quad 2^x+2^{-x}=2.$$

Из первого получаем

$$\cos\frac{x}{10}=1,$$

а из второго — $$x=0.$$ Проверка показывает, что при $$x=0$$ уравнение верно:

$$2\cos 0=2,\qquad 2^0+2^{-0}=1+1=2.$$

Ответ

$$0$$