Упр.172 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.

1. а) $$\sin 2x+2\cos x=1$$

   Используем формулу $$\sin 2x=2\sin x\cos x$$ и тождество $$\sin^2 x+\cos^2 x=1$$:

   $$ 2\sin x\cos x+2\cos^2 x=\sin^2 x+\cos^2 x $$
   $$ 3\sin^2 x-2\sin x\cos x-\cos^2 x=0 $$

   Проверим случай $$\cos x=0$$: тогда $$\sin x=\pm 1$$, и уравнение не выполняется. Значит, $$\cos x\ne 0$$, можно разделить на $$\cos^2 x$$:

   $$ 3\tg^2 x-2\tg x-1=0 $$

   Пусть $$t=\tg x$$. Тогда

   $$ 3t^2-2t-1=0 $$
   $$ (3t+1)(t-1)=0 $$

   $$ t_1=1,\qquad t_2=-\frac13 $$

   Следовательно,

   $$ x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb Z $$
   $$ x=-\arctg\frac13+\pi n,\ n\in\mathbb Z $$

2. б) $$\sin^4\frac{x}{4}-\cos^4\frac{x}{4}=0$$

   Разложим разность квадратов:

   $$ \left(\sin^2\frac{x}{4}-\cos^2\frac{x}{4}\right)\left(\sin^2\frac{x}{4}+\cos^2\frac{x}{4}\right)=0 $$

   Так как $$\sin^2\frac{x}{4}+\cos^2\frac{x}{4}=1$$, получаем

   $$ \sin^2\frac{x}{4}-\cos^2\frac{x}{4}=0 $$
   $$ \cos\frac{x}{2}=0 $$

   Тогда

   $$ \frac{x}{2}=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z $$
   $$ x=\pi+2\pi n,\ n\in\mathbb Z $$

3. в) $$3\sin 2x+\cos 2x=2\cos^2 x$$

   Используем формулы двойного угла:

   $$ 3\cdot 2\sin x\cos x+\left(\cos^2 x-\sin^2 x\right)=2\cos^2 x $$
   $$ 6\sin x\cos x+\cos^2 x-\sin^2 x=2\cos^2 x $$
   $$ \sin^2 x-6\sin x\cos x+\cos^2 x=0 $$

   Разделим на $$\cos^2 x$$:

   $$ \tg^2 x-6\tg x+1=0 $$

   $$ \tg x=3\pm 2\sqrt2 $$

   Следовательно,

   $$ x=\arctg(3-2\sqrt2)+\pi n,\ n\in\mathbb Z $$
   $$ x=\arctg(3+2\sqrt2)+\pi n,\ n\in\mathbb Z $$

4. г) $$1-\cos x=2\sin\frac{x}{2}$$

   Преобразуем левую часть по формуле $$1-\cos x=2\sin^2\frac{x}{2}$$:

   $$ 2\sin^2\frac{x}{2}=2\sin\frac{x}{2} $$
   $$ 2\sin\frac{x}{2}\left(\sin\frac{x}{2}-1\right)=0 $$

   Отсюда:

   $$ \sin\frac{x}{2}=0 \quad \text{или} \quad \sin\frac{x}{2}=1 $$

   $$ \frac{x}{2}=\pi n,\ n\in\mathbb Z $$
   $$ x=2\pi n,\ n\in\mathbb Z $$

   $$ \frac{x}{2}=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z $$
   $$ x=\pi+4\pi n,\ n\in\mathbb Z $$

Ответ

а) $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb Z;\quad x=-\arctg\frac13+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$

б) $$x=\pi+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$

в) $$x=\arctg(3-2\sqrt2)+\pi n,\ n\in\mathbb Z;\quad x=\arctg(3+2\sqrt2)+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$

г) $$x=2\pi n,\ n\in\mathbb Z;\quad x=\pi+4\pi n,\ n\in\mathbb Z$$