Упр.171 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Задача

а) log^2(3; x)=4-3log(3; x);
б) 1/2lg(2x-1)=1-lg(v(x-9));
в) log(3; v(x-5))+log(3; v(2x-3))=1;
г) 3lg^2(x-1)-10lg(x-1)+3=0.

Подробный ответ

а) Обозначим $$y=\log_3 x$$. Тогда получаем:
$$y^2=4-3y$$
$$y^2+3y-4=0$$
$$D=3^2-4\cdot 1\cdot(-4)=9+16=25$$
$$y_1=\frac{-3-5}{2}=-4,\qquad y_2=\frac{-3+5}{2}=1$$
Тогда
$$\log_3 x=-4 \Rightarrow x=3^{-4}=\frac{1}{81}$$
$$\log_3 x=1 \Rightarrow x=3$$
б) Перенесём логарифм в левую часть:
$$\frac12\lg(2x-1)+\lg\sqrt{x-9}=1$$
Так как $$\lg\sqrt{x-9}=\frac12\lg(x-9)$$, то
$$\frac12\lg(2x-1)+\frac12\lg(x-9)=1$$
$$\lg\bigl((2x-1)(x-9)\bigr)=2$$
$$ (2x-1)(x-9)=100 $$
$$2x^2-19x+9=100$$
$$2x^2-19x-91=0$$
$$D=19^2-4\cdot 2\cdot(-91)=361+728=1089$$
$$x=\frac{19\pm 33}{4}$$
$$x_1=-\frac72,\qquad x_2=13$$
С учётом области определения $$2x-1>0$$ и $$x-9>0$$, подходит только $$x=13$$.
в) Используем свойство логарифмов:
$$\log_3\sqrt{x-5}+\log_3\sqrt{2x-3}=1$$
$$\frac12\log_3(x-5)+\frac12\log_3(2x-3)=1$$
$$\log_3\bigl((x-5)(2x-3)\bigr)=2$$
$$ (x-5)(2x-3)=9 $$
$$2x^2-13x+15=9$$
$$2x^2-13x+6=0$$
$$D=13^2-4\cdot 2\cdot 6=169-48=121$$
$$x=\frac{13\pm 11}{4}$$
$$x_1=\frac12,\qquad x_2=6$$
По области определения $$x>5$$, значит подходит только $$x=6$$.
г) Обозначим $$y=\lg(x-1)$$. Тогда:
$$3y^2-10y+3=0$$
$$D=10^2-4\cdot 3\cdot 3=100-36=64$$
$$y=\frac{10\pm 8}{6}$$
$$y_1=\frac13,\qquad y_2=3$$
Тогда
$$\lg(x-1)=\frac13 \Rightarrow x-1=10^{1/3}=\sqrt[3]{10}$$
$$\lg(x-1)=3 \Rightarrow x-1=10^3=1000$$
$$x=\sqrt[3]{10}+1,\qquad x=1001$$