Упр.171 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Совет дня!Сайт решак.ру отлично работает на мобильных телефонах, им можно успешно пользоваться во время урока. Телефон хорошо прячется за учебником или рукавом. Или можно сказать, что забыли учебник дома, а на телефоне у вас электронный.

1. $$2\sin^2 x=\sqrt{3}\sin 2x$$

   Используем формулу двойного угла: $$\sin 2x=2\sin x\cos x$$.

   Тогда

   $$2\sin^2 x=\sqrt{3}\cdot 2\sin x\cos x$$

   $$2\sin x(\sin x-\sqrt{3}\cos x)=0$$

   Отсюда

   $$\sin x=0 \quad \text{или} \quad \sin x-\sqrt{3}\cos x=0.$$

   1) $$\sin x=0 \Rightarrow x=\pi n,\; n\in \mathbb{Z}.$$

   2) $$\sin x-\sqrt{3}\cos x=0 \Rightarrow \tg x=\sqrt{3} \Rightarrow x=\frac{\pi}{3}+\pi k,\; k\in \mathbb{Z}.$$

2. $$\sqrt{3}\tg x-\sqrt{3}\ctg x=2$$

   Положим $$t=\tg x$$, тогда $$\ctg x=\frac{1}{t}$$.

   Получаем

   $$\sqrt{3}t-\sqrt{3}\frac{1}{t}=2$$

   $$\sqrt{3}t^2-2t-\sqrt{3}=0$$

   Решим квадратное уравнение:

   $$D=(-2)^2-4\cdot \sqrt{3}\cdot(-\sqrt{3})=4+12=16$$

   $$t_{1,2}=\frac{2\pm 4}{2\sqrt{3}}$$

   $$t_1=-\frac{1}{\sqrt{3}}, \quad t_2=\sqrt{3}.$$

   Значит,

   $$\tg x=-\frac{1}{\sqrt{3}} \Rightarrow x=-\frac{\pi}{6}+\pi n,\; n\in \mathbb{Z},$$

   $$\tg x=\sqrt{3} \Rightarrow x=\frac{\pi}{3}+\pi n,\; n\in \mathbb{Z}.$$

3. $$\sin x+\sqrt{3}\cos x=0$$

   Проверим случай $$\cos x=0$$: тогда уравнение даёт $$\sin x=0$$, что невозможно одновременно с $$\cos x=0$$.

   Следовательно, $$\cos x\neq 0$$, и можно разделить на $$\cos x$$:

   $$\tg x=-\sqrt{3}$$

   $$x=-\frac{\pi}{3}+\pi n,\; n\in \mathbb{Z}.$$

4. $$\tg x=3\ctg x$$

   Так как $$\ctg x=\frac{1}{\tg x}$$, получаем

   $$\tg^2 x=3$$

   $$\tg x=\pm \sqrt{3}$$

   Отсюда

   $$x=\pm \frac{\pi}{3}+\pi n,\; n\in \mathbb{Z}.$$

Ответ

а) $$x=\pi n,\; n\in \mathbb{Z}$$ или $$x=\frac{\pi}{3}+\pi n,\; n\in \mathbb{Z}$$;
б) $$x=-\frac{\pi}{6}+\pi n,\; n\in \mathbb{Z}$$ или $$x=\frac{\pi}{3}+\pi n,\; n\in \mathbb{Z}$$;
в) $$x=-\frac{\pi}{3}+\pi n,\; n\in \mathbb{Z}$$;
г) $$x=\pm \frac{\pi}{3}+\pi n,\; n\in \mathbb{Z}$$.