Упр.170 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.

1. а) $$4\sin^2 x-\sin 2x=3$$

   Используем формулу $$\sin 2x=2\sin x\cos x$$ и тождество $$\sin^2 x+\cos^2 x=1$$:

   $$ 4\sin^2 x-2\sin x\cos x=3(\sin^2 x+\cos^2 x) $$
   $$ \sin^2 x-2\sin x\cos x-3\cos^2 x=0 $$

   Проверим случай $$\cos x=0$$: тогда $$\sin x=\pm1$$, и левая часть равна $$4\neq 3$$. Значит, $$\cos x\neq 0$$, можно разделить на $$\cos^2 x$$:

   $$ \tg^2 x-2\tg x-3=0 $$
   $$ (\tg x-3)(\tg x+1)=0 $$

   Отсюда

   $$ \tg x=3 \quad \text{или} \quad \tg x=-1 $$

   $$ x=\arctg 3+\pi n,\ n\in\mathbb Z $$
   $$ x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb Z $$

2. б) $$\cos 2x=2\cos x-1$$

   Перенесём всё в одну сторону и используем формулу $$\cos 2x=2\cos^2 x-1$$:

   $$ 1+\cos 2x-2\cos x=0 $$
   $$ 2\cos^2 x-2\cos x=0 $$
   $$ 2\cos x(\cos x-1)=0 $$

   Тогда

   $$ \cos x=0 \quad \text{или} \quad \cos x=1 $$

   $$ x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z $$
   $$ x=2\pi k,\ k\in\mathbb Z $$

3. в) $$\sin 2x-\cos x=0$$

   Подставим $$\sin 2x=2\sin x\cos x$$:

   $$ 2\sin x\cos x-\cos x=0 $$
   $$ \cos x(2\sin x-1)=0 $$

   Следовательно,

   $$ \cos x=0 \quad \text{или} \quad \sin x=\frac12 $$

   $$ x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z $$
   $$ x=(-1)^k\frac{\pi}{6}+\pi k,\ k\in\mathbb Z $$

4. г) $$\sin 2x+4\cos^2 x=1$$

   Преобразуем уравнение:

   $$ 2\sin x\cos x+4\cos^2 x-1=0 $$
   $$ 2\sin x\cos x+4\cos^2 x-(\sin^2 x+\cos^2 x)=0 $$
   $$ 3\cos^2 x+2\sin x\cos x-\sin^2 x=0 $$

   Проверим случай $$\cos x=0$$: тогда $$\sin x=\pm1$$, и левая часть равна $$-1\neq 0$$. Значит, $$\cos x\neq 0$$, делим на $$\cos^2 x$$:

   $$ 3+2\tg x-\tg^2 x=0 $$
   $$ \tg^2 x-2\tg x-3=0 $$
   $$ (\tg x-3)(\tg x+1)=0 $$

   Отсюда

   $$ \tg x=3 \quad \text{или} \quad \tg x=-1 $$

   $$ x=\arctg 3+\pi n,\ n\in\mathbb Z $$
   $$ x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb Z $$

Ответ

а) $$x=\arctg 3+\pi n,\ n\in\mathbb Z;\quad x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$

б) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z;\quad x=2\pi k,\ k\in\mathbb Z$$

в) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z;\quad x=(-1)^k\frac{\pi}{6}+\pi k,\ k\in\mathbb Z$$

г) $$x=\arctg 3+\pi n,\ n\in\mathbb Z;\quad x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$