Упр.17 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колмогоров, Абрамов, Дудницын 10 класс, Просвещение: 17. Докажите, что любая бесконечная периодическая десятичная дробь есть запись некоторого рационального числа.

Любую бесконечную периодическую десятичную дробь можно представить в виде суммы двух дробей:

1) конечной десятичной дроби, которая стоит до периода;

2) бесконечной убывающей геометрической прогрессии, у которой знаменатель равен $$10^{-k}$$, где $$k$$ — число цифр в периоде.

Конечная десятичная дробь является рациональным числом. Сумма бесконечной геометрической прогрессии также рациональна, так как при $$|q|<1$$ её сумма равна $$\frac{a_1}{1-q}$$.

Следовательно, сумма этих двух рациональных чисел рациональна. Значит, любая бесконечная периодическая десятичная дробь является записью некоторого рационального числа.

Ответ

Любая бесконечная периодическая десятичная дробь представляет собой рациональное число.