Упр.169 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Задача

а) 0,04^x-26·0,2^x+25?0; б) 9^x-84·3^(-2x)+1/3 > 0;
в) 4^x-10·2^x+16 < 0; г) 2^(2x+1)+(1/2)^(2x+1)-5/2?0.

Подробный ответ

а) $$0{,}04^x-26\cdot 0{,}2^x+25\le 0.$$
Так как $$0{,}04^x=(0{,}2^2)^x=0{,}2^{2x},$$ положим $$t=0{,}2^x,$$ тогда $$t>0$$ и получаем
$$t^2-26t+25\le 0.$$
$$D=26^2-4\cdot 25=576,$$
$$t_{1,2}=\frac{26\pm 24}{2},\quad t_1=1,\quad t_2=25.$$
Тогда
$$\left(t-1\right)\left(t-25\right)\le 0,$$
откуда
$$1\le t\le 25.$$
Возвращаясь к $$t=0{,}2^x,$$ получаем
$$1\le 0{,}2^x\le 25.$$
Так как $$0{,}2^x=5^{-x},$$ то
$$-2\le x\le 0.$$
б) $$9^x-84\cdot 3^{-2x}+\frac13>0.$$
Преобразуем:
$$9^x=3^{2x},\qquad 3^{-2x}=\frac1{3^{2x}}.$$
Положим $$t=3^{2x},$$ тогда $$t>0$$ и
$$t-\frac{84}{t}+\frac13>0.$$
Умножим на $$3t>0$$:
$$3t^2+t-252>0.$$
$$D=1+4\cdot 3\cdot 252=3025,$$
$$t_{1,2}=\frac{-1\pm 55}{6},\quad t_1=-\frac{28}{3},\quad t_2=9.$$
Так как $$t>0,$$ то
$$t>9.$$
Следовательно,
$$3^{2x}>9=3^2,\qquad 2x>2,\qquad x>1.$$
в) $$4^x-10\cdot 2^x+16<0.$$
Положим $$t=2^x,$$ тогда $$t>0$$ и $$4^x=t^2.$$ Получаем
$$t^2-10t+16<0.$$
$$D=10^2-4\cdot 16=36,$$
$$t_{1,2}=\frac{10\pm 6}{2},\quad t_1=2,\quad t_2=8.$$
Тогда
$$\left(t-2\right)\left(t-8\right)<0,$$
откуда
$$2<t<8.$$
Возвращаясь к $$t=2^x,$$ получаем
$$2<2^x<8=2^3,$$
значит,
$$1<x<3.$$
г) $$2^{2x+1}+\left(\frac12\right)^{2x+1}-\frac52\ge 0.$$
Преобразуем:
$$2^{2x+1}=2\cdot 2^{2x},\qquad \left(\frac12\right)^{2x+1}=2^{-(2x+1)}=\frac1{2\cdot 2^{2x}}.$$
Удобно положить $$t=2^{2x},$$ тогда $$t>0$$ и
$$2t+\frac1{2t}-\frac52\ge 0.$$
Умножим на $$2t>0$$:
$$4t^2-5t+1\ge 0.$$
$$D=5^2-4\cdot 4\cdot 1=9,$$
$$t_{1,2}=\frac{5\pm 3}{8},\quad t_1=\frac14,\quad t_2=1.$$
Тогда
$$\left(t-\frac14\right)\left(t-1\right)\ge 0,$$
откуда
$$t\le \frac14 \quad \text{или} \quad t\ge 1.$$
Так как $$t=2^{2x},$$ получаем
$$2^{2x}\le \frac14=2^{-2}\quad \Rightarrow \quad 2x\le -2 \quad \Rightarrow \quad x\le -1,$$
или
$$2^{2x}\ge 1=2^0\quad \Rightarrow \quad 2x\ge 0 \quad \Rightarrow \quad x\ge 0.$$