Упр.168 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колмогоров, Абрамов, Дудницын 10 класс, Просвещение: 168. Докажите тождество a sin(x)+b cos(x)=Asin(x+?), где ? удовлетворяет условиям: cos(?)=a/v(a^2+b^2), sin(?)=b/v(a^2+b^2), A=v(a^2+b^2).

Пусть

$$A=\sqrt{a^2+b^2}, \qquad \cos\varphi=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}, \qquad \sin\varphi=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}.$$

Тогда

$$\cos^2\varphi+\sin^2\varphi=\frac{a^2+b^2}{a^2+b^2}=1,$$

значит, такой угол $$\varphi$$ существует.

Теперь преобразуем выражение:

$$ A\sin(x+\varphi)=A(\sin x\cos\varphi+\cos x\sin\varphi). $$

Подставим значения $$A$$, $$\cos\varphi$$ и $$\sin\varphi$$:

$$ A\sin(x+\varphi)=\sqrt{a^2+b^2}\left(\sin x\cdot \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}+\cos x\cdot \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\right). $$

Сокращая, получаем:

$$ A\sin(x+\varphi)=a\sin x+b\cos x. $$

Тем самым тождество доказано.

Ответ

$$a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\,\sin(x+\varphi),$$

где

$$\cos\varphi=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}, \qquad \sin\varphi=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}, \qquad A=\sqrt{a^2+b^2}.$$