Упр.168 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) 16/v32?(1/2)^(3+x); б) 3^(x^2+x) < 10^lg(9); в) 3·(1/v3)^(2-3x) < 1/9; г) 4^(x^2+x-11) > 5^log(5; 4).

1. а) $$\frac{16}{\sqrt{32}} \ge \left(\frac12\right)^{3+x}$$

   $$\frac{16}{\sqrt{32}}=2^{4-\frac52}=2^{\frac32}, \qquad \left(\frac12\right)^{3+x}=2^{-3-x}$$

   Тогда

   $$2^{\frac32} \ge 2^{-3-x}$$

   Так как основание $$2>1$$, сравниваем показатели:

   $$\frac32 \ge -3-x$$

   $$\frac92 \ge -x$$

   $$x \ge -\frac92$$

   Ответ: $$\left[-\frac92;\,+\infty\right)$$

2. б) $$3^{x^2+x} < 10^{\lg 9}$$

   Так как $$10^{\lg 9}=9=3^2$$, получаем

   $$3^{x^2+x} < 3^2$$

   При основании $$3>1$$ имеем

   $$x^2+x<2$$

   $$x^2+x-2<0$$

   $$ (x+2)(x-1)<0 $$

   Отсюда

   $$-2<x<1$$

   Ответ: $$(-2;\,1)$$

3. в) $$3\cdot \left(\frac1{\sqrt3}\right)^{2-3x} < \frac19$$

   $$\frac1{\sqrt3}=3^{-\frac12}, \qquad \frac19=3^{-2}$$

   Тогда

   $$3\cdot 3^{-\frac12(2-3x)} < 3^{-2}$$

   $$3^{1-\frac12(2-3x)} < 3^{-2}$$

   $$1-\frac{2-3x}{2} < -2$$

   $$1-1+\frac32x < -2$$

   $$\frac32x < -2$$

   $$x<-\frac43$$

   Ответ: $$\left(-\infty;\,-\frac43\right)$$

4. г) $$4^{x^2+x-11} > 5^{\log_5 4}$$

   Так как $$5^{\log_5 4}=4$$, то

   $$4^{x^2+x-11} > 4^1$$

   При основании $$4>1$$ получаем

   $$x^2+x-11>1$$

   $$x^2+x-12>0$$

   $$ (x+4)(x-3)>0 $$

   Отсюда

   $$x<-4 \quad \text{или} \quad x>3$$

   Ответ: $$(-\infty;\,-4)\cup(3;\,+\infty)$$