Упр.167 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Задача

а) 3^(2vx)+3^(2vx-1)-3^(2vx-2)=11; б) 5^sin^2(x)-25^cos(x)=0;
в) 2^sin^2(x)+2^cos^2(x)=3; г) 3·9^(1/x)+6^(1/x)=2·4^(1/x).

Подробный ответ

а)

$$ 3^{2\sqrt{x}}+3^{2\sqrt{x}-1}-3^{2\sqrt{x}-2}=11 $$
$$ 3^{2\sqrt{x}}+\frac13\cdot 3^{2\sqrt{x}}-\frac19\cdot 3^{2\sqrt{x}}=11 $$
$$ 3^{2\sqrt{x}}\left(1+\frac13-\frac19\right)=11 $$
$$ 3^{2\sqrt{x}}\cdot \frac{11}{9}=11 $$
$$ 3^{2\sqrt{x}}=9=3^2 $$
$$ 2\sqrt{x}=2,\quad \sqrt{x}=1,\quad x=1 $$

б)

$$ 5^{\sin^2 x}-25^{\cos x}=0 $$
$$ 5^{\sin^2 x}-5^{2\cos x}=0 $$
$$ 5^{1-\cos^2 x}=5^{2\cos x} $$
$$ 1-\cos^2 x=2\cos x $$
$$ \cos^2 x+2\cos x-1=0 $$
Пусть $$y=\cos x$$. Тогда
$$ y^2+2y-1=0 $$
$$ D=2^2-4\cdot 1\cdot(-1)=8 $$
$$ y=\frac{-2\pm \sqrt{8}}{2}=-1\pm \sqrt{2} $$
Так как $$\cos x\in[-1;1]$$, подходит только
$$ \cos x=\sqrt{2}-1 $$
Следовательно,
$$ x=\pm \arccos(\sqrt{2}-1)+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z $$

в)

$$ 2^{\sin^2 x}+2^{\cos^2 x}=3 $$
$$ 2^{\sin^2 x}+2^{1-\sin^2 x}=3 $$
Пусть $$y=2^{\sin^2 x}$$. Тогда
$$ y+\frac{2}{y}=3 $$
$$ y^2-3y+2=0 $$
$$ (y-1)(y-2)=0 $$
Отсюда:
$$ y=1 \quad \text{или} \quad y=2 $$
1) $$2^{\sin^2 x}=1 \Rightarrow \sin^2 x=0 \Rightarrow x=\pi n$$

2) $$2^{\sin^2 x}=2 \Rightarrow \sin^2 x=1 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+\pi n$$

Итак,
$$ x=\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z $$

г)

$$ 3\cdot 9^{1/x}+6^{1/x}=2\cdot 4^{1/x} $$
$$ 3\left(\frac94\right)^{1/x}+\left(\frac32\right)^{1/x}-2=0 $$
Пусть
$$ y=\left(\frac32\right)^{1/x} $$
Тогда
$$ \left(\frac94\right)^{1/x}= \left(\frac32\right)^{2/x}=y^2 $$
и получаем
$$ 3y^2+y-2=0 $$
$$ D=1+24=25 $$
$$ y_1=\frac{-1-5}{6}=-1,\quad y_2=\frac{-1+5}{6}=\frac23 $$
Так как $$y=\left(\frac32\right)^{1/x}>0$$, то $$y=-1$$ не подходит. Значит,
$$ \left(\frac32\right)^{1/x}=\frac23=\left(\frac32\right)^{-1} $$
$$ \frac1x=-1,\quad x=-1 $$