Упр.166 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Задача

а) sin(?)=2tg(?/2)/(1+tg^2(?/2));
б) cos(?)=(1-tg^2(?/2))/(1+tg^2(?/2));
в) tg(?)=2tg(?/2)/(1-tg^2(?/2));
г) ctg(?)=(1-tg^2(?/2))/(2tg(?/2)).

Подробный ответ

Обозначим $$t=\tg \frac{a}{2}.$$ Тогда

$$\sin \frac{a}{2}=t\cos \frac{a}{2}, \qquad \tg \frac{a}{2}=\frac{\sin \frac{a}{2}}{\cos \frac{a}{2}}.$$

Докажем формулу для синуса:
$$\frac{2\tg \frac{a}{2}}{1+\tg^2 \frac{a}{2}}=\frac{2\sin \frac{a}{2}/\cos \frac{a}{2}}{1+\sin^2 \frac{a}{2}/\cos^2 \frac{a}{2}}$$
$$=\frac{2\sin \frac{a}{2}\cos \frac{a}{2}}{\cos^2 \frac{a}{2}+\sin^2 \frac{a}{2}}=\sin a.$$
Докажем формулу для косинуса:
$$\frac{1-\tg^2 \frac{a}{2}}{1+\tg^2 \frac{a}{2}}=\frac{1-\sin^2 \frac{a}{2}/\cos^2 \frac{a}{2}}{1+\sin^2 \frac{a}{2}/\cos^2 \frac{a}{2}}$$
$$=\frac{\cos^2 \frac{a}{2}-\sin^2 \frac{a}{2}}{\cos^2 \frac{a}{2}+\sin^2 \frac{a}{2}}=\cos a.$$
Докажем формулу для тангенса:
$$\frac{2\tg \frac{a}{2}}{1-\tg^2 \frac{a}{2}}=\frac{2\sin \frac{a}{2}/\cos \frac{a}{2}}{1-\sin^2 \frac{a}{2}/\cos^2 \frac{a}{2}}$$
$$=\frac{2\sin \frac{a}{2}\cos \frac{a}{2}}{\cos^2 \frac{a}{2}-\sin^2 \frac{a}{2}}=\frac{\sin a}{\cos a}=\tg a.$$
Докажем формулу для котангенса:
$$\frac{1-\tg^2 \frac{a}{2}}{2\tg \frac{a}{2}}=\frac{1-\sin^2 \frac{a}{2}/\cos^2 \frac{a}{2}}{2\sin \frac{a}{2}/\cos \frac{a}{2}}$$
$$=\frac{\cos^2 \frac{a}{2}-\sin^2 \frac{a}{2}}{2\sin \frac{a}{2}\cos \frac{a}{2}}=\frac{\cos a}{\sin a}=\ctg a.$$