Упр.166 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) 3·4^x+2·9^x=5·6^x; б) 8^x+18^x=2·27^x;
в) 2·25^x-5·10^x+2·4^x=0; г) 3·16^x+2·81^x=5·36^x.

1. а) $$3\cdot 4^x+2\cdot 9^x=5\cdot 6^x.$$

   Разделим обе части на $$6^x$$:

   $$3\left(\frac{4}{6}\right)^x+2\left(\frac{9}{6}\right)^x=5,$$

   $$3\left(\frac{2}{3}\right)^x+2\left(\frac{3}{2}\right)^x=5.$$

   Положим $$t=\left(\frac{2}{3}\right)^x,$$ тогда $$\left(\frac{3}{2}\right)^x=\frac{1}{t}.$$ Получаем:

   $$3t+\frac{2}{t}=5,$$

   $$3t^2-5t+2=0,$$

   $$\left(3t-2\right)\left(t-1\right)=0.$$

   Отсюда $$t=\frac{2}{3}$$ или $$t=1.$$

   Если $$\left(\frac{2}{3}\right)^x=\frac{2}{3},$$ то $$x=1.$$

   Если $$\left(\frac{2}{3}\right)^x=1,$$ то $$x=0.$$

2. б) $$8^x+18^x=2\cdot 27^x.$$

   Разделим на $$27^x$$:

   $$\left(\frac{8}{27}\right)^x+\left(\frac{2}{3}\right)^x=2.$$

   Положим $$y=\left(\frac{2}{3}\right)^x,$$ тогда

   $$\left(\frac{8}{27}\right)^x=\left(\left(\frac{2}{3}\right)^3\right)^x=y^3.$$

   Получаем уравнение:

   $$y^3+y-2=0,$$

   $$y^3+y-2=y^3+2y-y-2=(y-1)(y^2+y+2)=0.$$

   Так как $$y^2+y+2>0,$$ то $$y=1.$$

   Следовательно, $$\left(\frac{2}{3}\right)^x=1,$$ откуда $$x=0.$$

3. в) $$2\cdot 25^x-5\cdot 10^x+2\cdot 4^x=0.$$

   Разделим на $$4^x$$:

   $$2\left(\frac{25}{4}\right)^x-5\left(\frac{5}{2}\right)^x+2=0.$$

   Положим $$t=\left(\frac{5}{2}\right)^x,$$ тогда $$\left(\frac{25}{4}\right)^x=t^2.$$ Получаем:

   $$2t^2-5t+2=0,$$

   $$\left(2t-1\right)\left(t-2\right)=0.$$

   Отсюда $$t=\frac{1}{2}$$ или $$t=2.$$

   Если $$\left(\frac{5}{2}\right)^x=\frac{1}{2},$$ то $$x=\log_{\frac{5}{2}}\frac{1}{2}=-\log_{\frac{5}{2}}2.$$

   Если $$\left(\frac{5}{2}\right)^x=2,$$ то $$x=\log_{\frac{5}{2}}2.$$

4. г) $$3\cdot 16^x+2\cdot 81^x=5\cdot 36^x.$$

   Разделим на $$36^x$$:

   $$3\left(\frac{16}{36}\right)^x+2\left(\frac{81}{36}\right)^x=5,$$

   $$3\left(\frac{4}{9}\right)^x+2\left(\frac{9}{4}\right)^x=5.$$

   Положим $$t=\left(\frac{9}{4}\right)^x,$$ тогда $$\left(\frac{4}{9}\right)^x=\frac{1}{t}.$$ Получаем:

   $$\frac{3}{t}+2t=5,$$

   $$2t^2-5t+3=0,$$

   $$\left(2t-3\right)\left(t-1\right)=0.$$

   Отсюда $$t=\frac{3}{2}$$ или $$t=1.$$

   Если $$\left(\frac{9}{4}\right)^x=1,$$ то $$x=0.$$

   Если $$\left(\frac{9}{4}\right)^x=\frac{3}{2},$$ то $$\left(\frac{9}{4}\right)^x=\left(\frac{3}{2}\right)^1,$$ а значит $$x=\frac{1}{2}.$$

Ответ

а) $$0; 1$$; б) $$0$$; в) $$-\log_{\frac{5}{2}}2;\ \log_{\frac{5}{2}}2$$; г) $$0;\ \frac{1}{2}$$.