Упр.165 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Задача

а) 9^(x^2-1)-36·3^(x^2-3)+3=0; б) 5^(3x+1)+34·5^(2x)=7·5^x;
в) 16^x-50·2^(2x)=896; г) 7^(4vx)-8·7^v(4x)+7=0.

Подробный ответ

а)

$$9^{x^2-1}-36\cdot 3^{x^2-3}+3=0$$
$$3^{2x^2-2}-36\cdot 3^{x^2-3}+3=0$$
$$\frac{1}{9}\cdot 3^{2x^2}-\frac{4}{3}\cdot 3^{x^2}+3=0$$
Умножим на $$9$$:
$$3^{2x^2}-12\cdot 3^{x^2}+27=0$$
Положим $$t=3^{x^2}$$, тогда
$$t^2-12t+27=0$$
$$D=12^2-4\cdot 27=36$$
$$t_{1,2}=\frac{12\pm 6}{2}$$
$$t_1=3,\quad t_2=9$$
Тогда
$$3^{x^2}=3 \Rightarrow x^2=1 \Rightarrow x=\pm 1$$
$$3^{x^2}=9 \Rightarrow x^2=2 \Rightarrow x=\pm \sqrt{2}$$

б)

$$5^{3x+1}+34\cdot 5^{2x}=7\cdot 5^x$$
$$5\cdot 5^{3x}+34\cdot 5^{2x}-7\cdot 5^x=0$$
$$5^x\left(5\cdot 5^{2x}+34\cdot 5^x-7\right)=0$$
Так как $$5^x>0$$, то
$$5\cdot 5^{2x}+34\cdot 5^x-7=0$$
Положим $$t=5^x$$, тогда
$$5t^2+34t-7=0$$
$$D=34^2+4\cdot 5\cdot 7=1296$$
$$t_{1,2}=\frac{-34\pm 36}{10}$$
$$t_1=-7,\quad t_2=\frac{1}{5}$$
Так как $$t=5^x>0$$, подходит только
$$5^x=\frac{1}{5}=5^{-1}$$
$$x=-1$$

в)

$$16^x-50\cdot 2^{2x}=896$$
$$2^{4x}-50\cdot 2^{2x}-896=0$$
Положим $$t=2^{2x}$$, тогда
$$t^2-50t-896=0$$
$$D=50^2+4\cdot 896=6084$$
$$t_{1,2}=\frac{50\pm 78}{2}$$
$$t_1=-14,\quad t_2=64$$
Так как $$t=2^{2x}>0$$, берём
$$2^{2x}=64=2^6$$
$$2x=6,\quad x=3$$

г)

$$7^{4\sqrt{x}}-8\cdot 7^{2\sqrt{x}}+7=0$$
Положим $$t=7^{2\sqrt{x}}$$, тогда
$$t^2-8t+7=0$$
$$D=8^2-4\cdot 7=36$$
$$t_{1,2}=\frac{8\pm 6}{2}$$
$$t_1=1,\quad t_2=7$$
1) $$7^{2\sqrt{x}}=1 \Rightarrow 2\sqrt{x}=0 \Rightarrow x=0$$
2) $$7^{2\sqrt{x}}=7 \Rightarrow 2\sqrt{x}=1 \Rightarrow \sqrt{x}=\frac12 \Rightarrow x=\frac14$$