Упр.163 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) 0,2^(x^2-16x-37,5)=5v5; б) 2^(x^2-3)·5^(x^2-3)=0,01·(10^(x-1))^3;
в) 2^(x^2-6x+0,5)=1/(16v2); г) 6^(x^2)/2^(-15)=3^(-15)/6^(12-12x).

1. а) $$0{,}2^{x^2-16x-37{,}5}=5\sqrt5.$$

   Так как $$0{,}2=\frac15=5^{-1},$$ а $$5\sqrt5=5^{1+\frac12}=5^{\frac32},$$ получаем

   $$5^{-(x^2-16x-37{,}5)}=5^{\frac32}.$$

   Тогда

   $$-x^2+16x+37{,}5=\frac32,$$

   $$x^2-16x-36=0.$$

   $$D=16^2+4\cdot 36=256+144=400,$$

   $$x_{1,2}=\frac{16\pm 20}{2}.$$

   $$x_1=-2,\quad x_2=18.$$

2. б) $$2^{x^2-3}\cdot 5^{x^2-3}=0{,}01\cdot (10^{x-1})^3.$$

   Левая часть:

   $$2^{x^2-3}\cdot 5^{x^2-3}=(2\cdot 5)^{x^2-3}=10^{x^2-3}.$$

   Правая часть:

   $$0{,}01\cdot (10^{x-1})^3=10^{-2}\cdot 10^{3x-3}=10^{3x-5}.$$

   Тогда

   $$10^{x^2-3}=10^{3x-5},$$

   $$x^2-3=3x-5,$$

   $$x^2-3x+2=0.$$

   $$D=3^2-4\cdot 1\cdot 2=9-8=1,$$

   $$x_{1,2}=\frac{3\pm 1}{2}.$$

   $$x_1=1,\quad x_2=2.$$

3. в) $$2^{x^2-6x+0{,}5}=\frac{1}{16\sqrt2}.$$

   Правая часть:

   $$\frac{1}{16\sqrt2}=\frac{1}{2^4\cdot 2^{1/2}}=2^{-4-\frac12}=2^{-\frac92}.$$

   Тогда

   $$2^{x^2-6x+0{,}5}=2^{-\frac92},$$

   $$x^2-6x+0{,}5=-\frac92,$$

   $$x^2-6x+5=0.$$

   $$D=6^2-4\cdot 1\cdot 5=36-20=16,$$

   $$x_{1,2}=\frac{6\pm 4}{2}.$$

   $$x_1=1,\quad x_2=5.$$

4. г) $$\frac{6^{x^2}}{2^{-15}}=\frac{3^{-15}}{6^{12-12x}}.$$

   Перенесём множители:

   $$6^{x^2}\cdot 6^{12-12x}=3^{-15}\cdot 2^{-15}.$$

   Так как $$3^{-15}\cdot 2^{-15}=(2\cdot 3)^{-15}=6^{-15},$$ получаем

   $$6^{x^2+12-12x}=6^{-15}.$$

   Следовательно,

   $$x^2-12x+27=0.$$

   $$D=12^2-4\cdot 27=144-108=36,$$

   $$x_{1,2}=\frac{12\pm 6}{2}.$$

   $$x_1=3,\quad x_2=9.$$

Ответ

а) $$-2;\ 18$$; б) $$1;\ 2$$; в) $$1;\ 5$$; г) $$3;\ 9$$.