Упр.163 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.

1. а) $$\sin x \ge -\frac12,\quad x\in\left(-\frac{\pi}{2};\frac{7\pi}{6}\right)$$

   Находим промежутки, где $$\sin x \ge -\frac12$$:

   $$x\in\left[-\frac{\pi}{6};\frac{7\pi}{6}\right]+2\pi k \quad \text{или} \quad x\in\left[-\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2}\right]+2\pi k.$$

   С учётом заданного промежутка получаем:

   $$x\in\left[-\frac{\pi}{6};\frac{7\pi}{6}\right].$$

2. б) $$\cos\frac{x}{2}>\frac{\sqrt3}{2},\quad x\in\left[-\frac{\pi}{2};0\right]$$

   Так как $$\cos t>\frac{\sqrt3}{2}$$ при $$t\in\left(-\frac{\pi}{6};\frac{\pi}{6}\right)+2\pi k,$$ то для $$t=\frac{x}{2}$$ имеем:

   $$\frac{x}{2}\in\left(-\frac{\pi}{6};\frac{\pi}{6}\right).$$

   Умножая на 2, получаем:

   $$x\in\left(-\frac{\pi}{3};\frac{\pi}{3}\right).$$

   Пересечение с данным промежутком:

   $$x\in\left[-\frac{\pi}{3};0\right].$$

3. в) $$\tg x\ge -1,\quad x\in\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{4}\right)$$

   Функция $$\tg x$$ возрастает на промежутке $$\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right)$$, поэтому

   $$\tg x\ge -1 \iff x\ge -\frac{\pi}{4}.$$

   С учётом заданного промежутка:

   $$x\in\left[-\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{4}\right].$$

4. г) $$\sin 2x<\frac{\sqrt2}{2},\quad x\in[0;\pi]$$

   Положим $$t=2x$$. Тогда $$t\in[0;2\pi]$$ и нужно решить неравенство

   $$\sin t<\frac{\sqrt2}{2}.$$

   На отрезке $$[0;2\pi]$$ это выполняется при

   $$t\in\left[0;\frac{\pi}{4}\right)\cup\left(\frac{3\pi}{4};2\pi\right].$$

   Возвращаясь к $$x$$, получаем:

   $$x\in\left[0;\frac{\pi}{8}\right)\cup\left(\frac{3\pi}{8};\pi\right].$$

Ответ

а) $$\left[-\frac{\pi}{6};\frac{7\pi}{6}\right]$$; б) $$\left[-\frac{\pi}{3};0\right]$$; в) $$\left[-\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{4}\right]$$; г) $$\left[0;\frac{\pi}{8}\right)\cup\left(\frac{3\pi}{8};\pi\right].$$