Упр.162 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
а) {xvx+3yvx=36, yvy+3xvy=28};
б) {2x^(1/3)-2y^(1/3)=3(xy)^(1/6), x-y=63};
в) {3x-v(xy)+2y=29, 2x-v(xy)-y=20};
г) {(v(x^2+y^2)+v(x^2-y^2))/(v(x^2+y^2)-v(x^2-y^2))=(5+v7)/(5-v7), x^3+2y^3=118}.
а) Обозначим $$u=\sqrt{x},\ v=\sqrt{y}.$$ Тогда система принимает вид
$$ \begin{cases} u^3+3uv^2=36,\\ v^3+3u^2v=28. \end{cases} $$
Сложим уравнения:
$$ u^3+3u^2v+3uv^2+v^3=64, $$
$$ (u+v)^3=64,\quad u+v=4. $$
Тогда $$v=4-u.$$ Подставим в первое уравнение:
$$ u^3+3u(4-u)^2=36. $$
$$ u^3+3u(16-8u+u^2)=36, $$
$$ 4u^3-24u^2+48u-36=0, $$
$$ u^3-6u^2+12u-9=0. $$
Положим $$z=u.$$ Тогда
$$ z^3-6z^2+12z-9=0, $$
$$ z=3. $$
Следовательно, $$u=3,\ v=1,$$ значит
$$ x=u^2=9,\quad y=v^2=1. $$
б) Пусть $$a=\sqrt[6]{x},\ b=\sqrt[6]{y}.$$ Тогда $$x=a^6,\ y=b^6,\ (xy)^{1/6}=ab,$$ и система имеет вид
$$ \begin{cases} 2a^2-2b^2=3ab,\\ a^6-b^6=63. \end{cases} $$
Первое уравнение перепишем так:
$$ 2a^2-3ab-2b^2=0. $$
Рассмотрим как квадратное уравнение относительно $$a$$:
$$ a=\frac{3b\pm 5b}{4}. $$
Отсюда
$$ a=2b \quad \text{или} \quad a=-\frac{b}{2}. $$
1) Если $$a=2b,$$ то
$$ a^6-b^6=64b^6-b^6=63, $$
$$ 63b^6=63,\quad b=1. $$
Тогда $$a=2,$$ значит
$$ x=2^6=64,\quad y=1. $$
2) Если $$a=-\frac{b}{2},$$ то
$$ a^6-b^6=\frac{b^6}{64}-b^6=63, $$
что невозможно при $$b^6\ge 0.$$
в) Обозначим $$t=\sqrt{xy}.$$ Тогда система
$$ \begin{cases} 3x-t+2y=29,\\ 2x+t-y=20 \end{cases} $$
даёт при сложении
$$ 5x+y=49,\quad y=49-5x. $$
Подставим во второе уравнение:
$$ 2x+\sqrt{x(49-5x)}-(49-5x)=20, $$
$$ \sqrt{49x-5x^2}=69-7x. $$
Возведём в квадрат:
$$ 49x-5x^2=(69-7x)^2, $$
$$ 54x^2-1015x+4761=0. $$
$$ D=1015^2-4\cdot 54\cdot 4761=1849,\quad \sqrt D=43. $$
$$ x_1=\frac{1015-43}{108}=9,\quad x_2=\frac{1015+43}{108}=\frac{529}{54}. $$
Тогда
$$ y_1=49-5\cdot 9=4,\quad y_2=49-5\cdot \frac{529}{54}=\frac{1}{54}. $$
г) Обозначим
$$ A=\sqrt{x^2+y^2},\quad B=\sqrt{x^2-y^2}. $$
Тогда
$$ \frac{A+B}{A-B}=\frac{5+\sqrt7}{5-\sqrt7}. $$
Перемножим крест-накрест:
$$ (5-\sqrt7)(A+B)=(5+\sqrt7)(A-B). $$
После преобразований получаем
$$ \sqrt7\,A=5B. $$
Возведём в квадрат:
$$ 7(x^2+y^2)=25(x^2-y^2), $$
$$ 18x^2=32y^2,\quad \frac{y^2}{x^2}=\frac{9}{16}. $$
Значит,
$$ y=\pm \frac{3}{4}x. $$
1) Если $$y=-\frac{3}{4}x,$$ то из второго уравнения
$$ x^3+2\left(-\frac{27}{64}x^3\right)=118, $$
$$ \frac{10}{64}x^3=118,\quad x^3=\frac{3776}{5}. $$
Тогда
$$ x=4\sqrt[3]{\frac{59}{5}},\quad y=-3\sqrt[3]{\frac{59}{5}}. $$
2) Если $$y=\frac{3}{4}x,$$ то
$$ x^3+2\cdot \frac{27}{64}x^3=118, $$
$$ \frac{118}{64}x^3=118,\quad x^3=64. $$
Следовательно,
$$ x=4,\quad y=3. $$
Ответ
а) $$ (9;\,1) $$; б) $$ (64;\,1) $$; в) $$ (9;\,4),\ \left(\frac{529}{54};\frac{1}{54}\right) $$; г) $$ \left(4\sqrt[3]{\frac{59}{5}};\,-3\sqrt[3]{\frac{59}{5}}\right),\ (4;\,3) $$.
