Упр.162 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
а) sin(x)-v3cos(x); б) log(0,5; sin(x)) > 1;
в) sin(x)+cos(x) < 1; г) log(v2; cos(x)) > -1.
а) $$\sin x-\sqrt{3}\cos x>\sqrt{3}.$$
Представим левую часть в виде одной синусоиды:
$$\sin x-\sqrt{3}\cos x=2\left(\frac12\sin x-\frac{\sqrt3}{2}\cos x\right)=2\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right).$$
Тогда
$$2\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right)>\sqrt{3},$$
$$\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right)>\frac{\sqrt3}{2}.$$
Отсюда
$$\frac{\pi}{3}+2\pi n<x-\frac{\pi}{3}<\frac{2\pi}{3}+2\pi n,$$
$$\frac{2\pi}{3}+2\pi n<x<\pi+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
б) $$\log_{0.5}(\sin x)>1.$$
Так как основание $$0.5<1,$$ знак неравенства меняется:
$$0<\sin x<\frac12.$$
Следовательно,
$$2\pi n<x<\frac{\pi}{6}+2\pi n,$$
или
$$\frac{5\pi}{6}+2\pi n<x<\pi+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
в) $$\sin x+\cos x<1.$$
Преобразуем левую часть:
$$\sin x+\cos x=\sqrt2\left(\frac{\sqrt2}{2}\sin x+\frac{\sqrt2}{2}\cos x\right)=\sqrt2\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right).$$
Тогда
$$\sqrt2\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)<1,$$
$$\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)<\frac{\sqrt2}{2}.$$
Отсюда
$$\frac{3\pi}{4}+2\pi n<x+\frac{\pi}{4}<\frac{9\pi}{4}+2\pi n,$$
то есть
$$\frac{\pi}{2}+2\pi n<x<{2\pi}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
г) $$\log_{\sqrt2}(\cos x)>-1.$$
Так как основание $$\sqrt2>1,$$ знак неравенства сохраняется:
$$\cos x>(\sqrt2)^{-1}=\frac1{\sqrt2}.$$
С учётом области определения $$\cos x>0$$ получаем
$$-\frac{\pi}{4}+2\pi n<x<\frac{\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Ответ
а) $$\frac{2\pi}{3}+2\pi n<x<\pi+2\pi n,\ n\in\mathbb Z;$$
б) $$2\pi n<x<\frac{\pi}{6}+2\pi n$$ или $$\frac{5\pi}{6}+2\pi n<x<\pi+2\pi n,\ n\in\mathbb Z;$$
в) $$\frac{\pi}{2}+2\pi n<x<2\pi+2\pi n,\ n\in\mathbb Z;$$
г) $$-\frac{\pi}{4}+2\pi n<x<\frac{\pi}{4}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$
