Упр.161 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) {x^2-yv(xy)=36, y^2-xv(xy)=72};
б) {v(6x/(x+y))+v((x+y)/(6x))=6/2, xy-x-y=0}.

а) Обозначим $$t=\sqrt{xy}.$$ Тогда система принимает вид

$$ \begin{cases} x^2-yt=36,\\ y^2-xt=72. \end{cases} $$

Так как в решении используется разность квадратов, удобно заметить, что при $$x<0$$ и $$y<0$$ имеем $$\sqrt{xy}=\sqrt{|x||y|}.$$ Тогда

$$ x^2-y\sqrt{xy}=36,\qquad y^2-x\sqrt{xy}=72. $$

Разделим первое уравнение на второе в подходящем виде:

$$ \frac{\sqrt{|x|}}{\sqrt{|y|}}=\frac12. $$

Отсюда

$$ 2\sqrt{-x}=\sqrt{-y},\qquad y=4x. $$

Подставим это в первое уравнение:

$$ x^2-4x\sqrt{x\cdot 4x}=36. $$

Так как $$x<0,$$ то $$\sqrt{x\cdot 4x}=\sqrt{4x^2}=2|x|=-2x.$$ Тогда

$$ x^2-4x\cdot(-2x)=36, $$
$$ 9x^2=36, $$
$$ x^2=4. $$

С учётом условия $$x<0$$ получаем $$x=-2,$$ тогда $$y=4x=-8.$$

б) Пусть

$$ z=\sqrt{\frac{6x}{x+y}}. $$

Тогда

$$ \sqrt{\frac{x+y}{6x}}=\frac1z, $$
и первое уравнение системы даёт

$$ z+\frac1z=\frac52. $$

Умножим на $$z$$:

$$ 2z^2-5z+2=0. $$

Решаем квадратное уравнение:

$$ D=25-16=9, $$
$$ z_{1,2}=\frac{5\pm 3}{4}. $$

Отсюда

$$ z_1=\frac12,\qquad z_2=2. $$

1) Если $$z=\frac12,$$ то

$$ \sqrt{\frac{6x}{x+y}}=\frac12,\qquad \frac{6x}{x+y}=\frac14. $$

Тогда

$$ 24x=x+y,\qquad y=23x. $$

Подставим во второе уравнение системы:

$$ xy-x-y=0, $$
$$ 23x^2-x-23x=0, $$
$$ 23x^2-24x=0, $$
$$ x(23x-24)=0. $$

Получаем:

$$ x=0,\ y=0 $$
или
$$ x=\frac{24}{23},\ y=24. $$

Пара $$\left(\frac{24}{23},\,24\right)$$ подходит.

2) Если $$z=2,$$ то

$$ \sqrt{\frac{6x}{x+y}}=2,\qquad \frac{6x}{x+y}=4. $$

Тогда

$$ 6x=4x+4y,\qquad x=2y. $$

Подставим во второе уравнение:

$$ xy-x-y=0, $$
$$ 2y^2-2y-y=0, $$
$$ 2y^2-3y=0, $$
$$ y(2y-3)=0. $$

Отсюда

$$ y=0,\ x=0 $$
или
$$ y=\frac32,\ x=3. $$

Пара $$\left(3,\,\frac32\right)$$ подходит.

Ответ

а) $$(-2;\,-8)$$;
б) $$\left(\frac{24}{23};\,24\right),\ \left(3;\,\frac32\right).$$