Упр.161 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.

1. а) $$\ctg x \ge \sqrt{3}$$

   Функция $$\ctg x$$ убывает на каждом промежутке $$\left(\pi n;\,\pi+\pi n\right)$$, поэтому

   $$\ctg x \ge \sqrt{3} \iff x \in \left[\pi n;\,\frac{\pi}{6}+\pi n\right), \quad n \in \mathbb{Z}.$$

2. б) $$\sqrt{3}\,\ctg\left(\frac{\pi}{4}-2x\right) > 1$$

   Делим на $$\sqrt{3}>0$$:

   $$\ctg\left(\frac{\pi}{4}-2x\right) > \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}.$$

   Так как $$\ctg t$$ убывает, то

   $$\frac{\pi}{4}-2x \in \left(\pi n;\,\frac{\pi}{3}+\pi n\right), \quad n \in \mathbb{Z}.$$

   Решаем двойное неравенство:

   $$ \pi n < \frac{\pi}{4}-2x < \frac{\pi}{3}+\pi n $$

   $$ -\frac{\pi}{12}-\frac{\pi n}{2} < x < \frac{\pi}{8}-\frac{\pi n}{2} $$

   Переобозначая индекс, получаем

   $$x \in \left(\frac{11\pi}{24}+\frac{\pi n}{2};\,\frac{5\pi}{8}+\frac{\pi n}{2}\right), \quad n \in \mathbb{Z}.$$

3. в) $$\ctg 3x \le -\frac{1}{\sqrt{3}}$$

   Имеем $$-\frac{1}{\sqrt{3}}=-\frac{\sqrt{3}}{3}$$, а функция $$\ctg t$$ убывает, значит

   $$3x \in \left(\frac{5\pi}{6}+\pi n;\,\pi+\pi n\right], \quad n \in \mathbb{Z}.$$

   Делим на $$3$$:

   $$x \in \left(\frac{5\pi}{18}+\frac{\pi n}{3};\,\frac{\pi}{3}+\frac{\pi n}{3}\right], \quad n \in \mathbb{Z}.$$

   Эквивалентно можно записать:

   $$x \in \left(\frac{\pi}{9}+\frac{\pi n}{3};\,\frac{\pi}{3}+\frac{\pi n}{3}\right), \quad n \in \mathbb{Z}.$$

4. г) $$3\ctg\left(\frac{\pi}{6}+\frac{x}{2}\right) > -\sqrt{3}$$

   Делим на $$3>0$$:

   $$\ctg\left(\frac{\pi}{6}+\frac{x}{2}\right) > -\frac{\sqrt{3}}{3}.$$

   Так как $$\ctg t$$ убывает, то

   $$\frac{\pi}{6}+\frac{x}{2} \in \left(\pi n;\,\frac{2\pi}{3}+\pi n\right), \quad n \in \mathbb{Z}.$$

   Тогда

   $$ \pi n < \frac{\pi}{6}+\frac{x}{2} < \frac{2\pi}{3}+\pi n $$

   $$ -\frac{\pi}{3}+2\pi n < x < \pi+2\pi n $$

   С учётом периодичности получаем

   $$x \in \left(-\frac{\pi}{3}+2\pi n;\,\pi+2\pi n\right), \quad n \in \mathbb{Z}.$$

Ответ

а) $$x \in \left[\pi n;\,\frac{\pi}{6}+\pi n\right), \quad n \in \mathbb{Z}$$

б) $$x \in \left(\frac{11\pi}{24}+\frac{\pi n}{2};\,\frac{5\pi}{8}+\frac{\pi n}{2}\right), \quad n \in \mathbb{Z}$$

в) $$x \in \left(\frac{\pi}{9}+\frac{\pi n}{3};\,\frac{\pi}{3}+\frac{\pi n}{3}\right), \quad n \in \mathbb{Z}$$

г) $$x \in \left(-\frac{\pi}{3}+2\pi n;\,\pi+2\pi n\right), \quad n \in \mathbb{Z}$$