Упр.160 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
а) {(x+2y)^(1/3)+(x-y+2)^(1/3)=3, 2x+y=7};
б) {x^2+2y+v(x^2+2y+1)=1, 2x+y=2};
в) {x-y+v(x^2-4y^2)=2, x^5v(x^2-4y^2)=0};
г) {1/x^(1/3)-1/y^(1/3)=1/6, (xy)^(1/3)=6}.
а) Обозначим $$a=\sqrt[3]{x+2y}$$ и $$b=\sqrt[3]{x-y+2}$$. Тогда
$$a+b=3,$$
$$a^3+b^3=(x+2y)+(x-y+2)=2x+y+2=9,$$
значит, $$a^3+b^3=9.$$ По формуле суммы кубов:
$$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2),$$
откуда
$$3(a^2-ab+b^2)=9,$$
$$a^2-ab+b^2=3.$$
Так как $$b=3-a,$$ получаем
$$a^2-a(3-a)+(3-a)^2=3,$$
$$3a^2-9a+6=0,$$
$$a^2-3a+2=0,$$
$$a=1 \text{ или } a=2.$$
1) Если $$a=1,$$ то $$b=2.$$ Тогда
$$x+2y=1,\quad x-y+2=8,$$
$$x-y=6.$$
Решая систему, получаем
$$y=-\frac{5}{3},\quad x=\frac{13}{3}.$$
2) Если $$a=2,$$ то $$b=1.$$ Тогда
$$x+2y=8,\quad x-y+2=1,$$
$$x-y=-1.$$
Отсюда
$$y=3,\quad x=2.$$
б) Из второго уравнения
$$2x+y=2,\quad y=2-2x.$$
Пусть
$$z=\sqrt{x^2+2y+1}.$$
Тогда первое уравнение принимает вид
$$z^2+z=2,$$
$$z^2+z-2=0,$$
$$z=1 \text{ или } z=-2.$$
Так как $$z\ge 0,$$ то $$z=1.$$ Следовательно,
$$\sqrt{x^2+2y+1}=1,$$
$$x^2+2y+1=1,$$
$$x^2+2(2-2x)=0,$$
$$x^2-4x+4=0,$$
$$x=2,\quad y=-2.$$
в) Из первого уравнения
$$\sqrt{x^2-4y^2}=2-x+y.$$
Тогда из второго уравнения
$$x^5(2-x+y)=0.$$
Рассмотрим случаи.
1) $$x=0.$$ Тогда из первого уравнения
$$-y+\sqrt{-4y^2}=2,$$
что невозможно, так как подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Значит, решений нет.
2) $$2-x+y=0,$$ то есть $$x=y+2.$$ Подставим в первое уравнение:
$$2+\sqrt{(y+2)^2-4y^2}=2,$$
$$\sqrt{y^2+4y+4-4y^2}=0,$$
$$3y^2-4y-4=0.$$
$$D=16+48=64,$$
$$y_1=-\frac{2}{3},\quad y_2=2.$$
Тогда
$$x_1=\frac{4}{3},\quad x_2=4.$$
г) Обозначим
$$a=\sqrt[3]{x},\quad b=\sqrt[3]{y}.$$
Тогда система имеет вид
$$\frac{1}{a}-\frac{1}{b}=\frac{1}{6},$$
$$ab=6.$$
Из второго уравнения $$b=\frac{6}{a}.$$ Подставим в первое:
$$\frac{1}{a}-\frac{a}{6}=\frac{1}{6},$$
$$6-a^2=a,$$
$$a^2+a-6=0,$$
$$a=-3 \text{ или } a=2.$$
Если $$a=-3,$$ то $$b=-2,$$ и
$$x=(-3)^3=-27,\quad y=(-2)^3=-8.$$
Если $$a=2,$$ то $$b=3,$$ и
$$x=2^3=8,\quad y=3^3=27.$$
Ответ
а) $$\left(\frac{13}{3};-\frac{5}{3}\right),\ (2;3)$$; б) $$ (2;-2) $$; в) $$\left(\frac{4}{3};-\frac{2}{3}\right),\ (4;2)$$; г) $$(-27;-8),\ (8;27)$$.
