Упр.160 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
а) 2sin^2(x)?1; б) 3tg^2(2x)?1;
в) 4cos^2(x)?3; г) tg^2(x/2)?0.
$$2\sin^2 x \le 1$$
$$1-\cos 2x \le 1$$
$$\cos 2x \ge 0$$
$$-\frac{\pi}{2}+2\pi n \le 2x \le \frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
$$-\frac{\pi}{4}+\pi n \le x \le \frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
$$3\tg^2 2x \le 1$$
$$3\cdot \frac{1-\cos 4x}{1+\cos 4x}\le 1$$
$$3-3\cos 4x \le 1+\cos 4x$$
$$4\cos 4x \ge 2,\quad \cos 4x \ge \frac12$$
$$-\frac{\pi}{3}+2\pi n \le 4x \le \frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
$$-\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2} \le x \le \frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z$$
$$4\cos^2 x \le 3$$
$$2(1+\cos 2x)\le 3$$
$$1+\cos 2x \le \frac32$$
$$\cos 2x \le \frac12$$
$$\frac{\pi}{3}+2\pi n \le 2x \le \frac{5\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
$$\frac{\pi}{6}+\pi n \le x \le \frac{5\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
$$\tg^2\frac{x}{2} \ge 0$$
Квадрат любого действительного числа неотрицателен, поэтому неравенство выполняется при всех значениях $$x$$, для которых определена функция $$\tg\frac{x}{2}$$.
$$\frac{x}{2}\ne \frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
$$x\ne \pi+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
Ответ
а) $$x\in\left[-\frac{\pi}{4}+\pi n;\,\frac{\pi}{4}+\pi n\right],\ n\in\mathbb Z$$;
б) $$x\in\left[-\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2};\,\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2}\right],\ n\in\mathbb Z$$;
в) $$x\in\left[\frac{\pi}{6}+\pi n;\,\frac{5\pi}{6}+\pi n\right],\ n\in\mathbb Z$$;
г) $$x\in\mathbb R,\ x\ne \pi+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$.
