Упр.16 Глава 1 Вопросы и задачи на повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

2) Выясните, какая из указанных ниже функций является четной, а какая — нечетной:
а) y=sin(x)/x; б) y=x+x^5;
в) y=x cos(x); г) y=3x^2+x^6.
3) Постройте график функции f, если известно, что:
а) f — нечетная; f(x)=cos(x)-1 при х?(-?; 0];
б) f — четная; f(x)=(x-1)^3 при х?[0; ?);
в) f — четная; f(x)=sin(x) при х?(-?; 0];
г) f — четная; f(x)=4x-x^2 при х?[0; ?).

1) Функция четная, если для всех $$x$$ из области определения выполняется $$f(-x)=f(x)$$.

Функция нечетная, если для всех $$x$$ из области определения выполняется $$f(-x)=-f(x)$$.

График четной функции симметричен относительно оси $$Oy$$, а график нечетной функции симметричен относительно начала координат.

2) Проверим четность функций.

а) $$y=\dfrac{\sin x}{x}$$

$$ y(-x)=\dfrac{\sin(-x)}{-x}=\dfrac{-\sin x}{-x}=\dfrac{\sin x}{x} $$

Следовательно, функция четная.

б) $$y=x+x^5$$

$$ y(-x)=(-x)+(-x)^5=-x-x^5=-(x+x^5) $$

Следовательно, функция нечетная.

в) $$y=x\cos x$$

$$ y(-x)=(-x)\cos(-x)=-x\cos x=-y(x) $$

Следовательно, функция нечетная.

г) $$y=3x^2+x^6$$

$$ y(-x)=3(-x)^2+(-x)^6=3x^2+x^6 $$

Следовательно, функция четная.

3) Построим графики, используя симметрию.

а) Если $$f$$ — нечетная и при $$x\le 0$$ задано $$f(x)=\cos x-1$$, то для $$x\ge 0$$

$$ f(x)=-f(-x)=-(\cos(-x)-1)=-(\cos x-1)=1-\cos x. $$

График правой части получается отражением левой части относительно начала координат.

б) Если $$f$$ — четная и при $$x\ge 0$$ задано $$f(x)=(x-1)^3$$, то для $$x\le 0$$

$$ f(x)=f(-x)=(-x-1)^3=-(x+1)^3. $$

График левой части получается отражением правой части относительно оси $$Oy$$.

в) Если $$f$$ — четная и при $$x\le 0$$ задано $$f(x)=\sin x$$, то для $$x\ge 0$$

$$ f(x)=f(-x)=\sin(-x)=-\sin x. $$

График правой части — отражение левой части относительно оси $$Oy$$.

г) Если $$f$$ — четная и при $$x\ge 0$$ задано $$f(x)=4x-x^2$$, то для $$x\le 0$$

$$ f(x)=f(-x)=4(-x)-(-x)^2=-4x-x^2. $$

График левой части — отражение правой части относительно оси $$Oy$$.

Ответ

1) Четная: $$f(-x)=f(x)$$; нечетная: $$f(-x)=-f(x)$$.
График четной функции симметричен относительно оси $$Oy$$, нечетной — относительно начала координат.

2) а) четная; б) нечетная; в) нечетная; г) четная.

3) Для каждого пункта недостающая часть графика строится по симметрии:
а) относительно начала координат; б), в), г) относительно оси $$Oy$$.