Упр.159 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Задача

а) {x^(1/3)vy+vxy^(1/3)=12, xy=64};
б) {v(x/y)+v(y/x)=5/2, x+y=5};
в) {x^(1/3)+y^(1/3)=4, x+y=28};
г) {x^(1/3)+y^(1/3)=3, x^(2/3)-(xy)^(1/3)+y^(2/3)=2}.

Подробный ответ

а) Пусть $$a=\sqrt[3]{x}$$, $$b=\sqrt[3]{y}$$. Тогда система принимает вид
$$ \begin{cases} ab(a+b)=12,\\ a^3b^3=64. \end{cases} $$
Из второго уравнения получаем $$ab=4$$. Тогда из первого:
$$4(a+b)=12,\quad a+b=3.$$
Следовательно, $$a$$ и $$b$$ — корни уравнения
$$ t^2-3t+4=0. $$
Но $$D=9-16=-7<0$$, значит, действительных решений нет.
б) Обозначим $$z=\sqrt{\frac{x}{y}}$$. Тогда $$\sqrt{\frac{y}{x}}=\frac{1}{z}$$, и система имеет вид
$$ \begin{cases} z+\frac{1}{z}=\frac{5}{2},\\ x+y=5. \end{cases} $$
Умножим первое уравнение на $$z$$:
$$ 2z^2-5z+2=0. $$
$$ D=25-16=9,\quad z_1=\frac{5-3}{4}=\frac12,\quad z_2=\frac{5+3}{4}=2. $$
Если $$z=\frac12$$, то $$\frac{x}{y}=\frac14$$, значит $$x=\frac{y}{4}$$. Тогда
$$\frac{y}{4}+y=5,\quad y=4,\quad x=1.$$
Если $$z=2$$, то $$\frac{x}{y}=4$$, значит $$x=4y$$. Тогда
$$4y+y=5,\quad y=1,\quad x=4.$$
в) Пусть $$a=\sqrt[3]{x}$$, $$b=\sqrt[3]{y}$$. Тогда
$$ \begin{cases} a+b=4,\\ a^3+b^3=28. \end{cases} $$
Используем формулу
$$ a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2). $$
Получаем
$$ 4(a^2-ab+b^2)=28,\quad a^2-ab+b^2=7. $$
Так как $$a+b=4$$, то
$$ a^2-ab+b^2=(a+b)^2-3ab=16-3ab=7, $$
откуда $$ab=3$$.
Тогда $$a$$ и $$b$$ — корни уравнения
$$ t^2-4t+3=0, $$
значит, $$t_1=1$$, $$t_2=3$$.
Следовательно,
$$ (x,y)=(1,27)\ \text{или}\ (27,1). $$
г) Пусть $$a=\sqrt[3]{x}$$, $$b=\sqrt[3]{y}$$. Тогда система равносильна
$$ \begin{cases} a+b=3,\\ a^2-ab+b^2=2. \end{cases} $$
Из первого уравнения $$b=3-a$$. Подставим во второе:
$$ a^2-a(3-a)+(3-a)^2=2. $$
$$ a^2-3a+a^2+9-6a+a^2=2, $$
$$ 3a^2-9a+7=0. $$
$$ D=81-84=-3<0. $$
Действительных решений нет.