Упр.159 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) sin(3?/2-x)?v2/2; б) v3tg(?/4-x)?-1;
в) sin(2x)sin(x/2)-cos(2x)cos(x/2) > 1/2;
г) sin(3x)cos(x)+sin(x)cos(3x)?v3/2.

1. а) $$\sin\left(\frac{3\pi}{2}-x\right)\le \frac{\sqrt2}{2}.$$

   Так как $$\sin\left(\frac{3\pi}{2}-x\right)=-\cos x,$$ получаем

   $$-\cos x\le \frac{\sqrt2}{2}, \qquad \cos x\ge -\frac{\sqrt2}{2}.$$

   Отсюда

   $$-\frac{3\pi}{4}+2\pi n\le x\le \frac{3\pi}{4}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

2. б) $$\sqrt3\,\tg\left(\frac{\pi}{4}-x\right)\ge -1.$$

   Преобразуем:

   $$-\sqrt3\,\tg\left(x-\frac{\pi}{4}\right)\ge -1,$$

   $$\tg\left(x-\frac{\pi}{4}\right)\le \frac{\sqrt3}{3}.$$

   Тогда

   $$-\frac{\pi}{2}+\pi n<x-\frac{\pi}{4}\le \frac{\pi}{6}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z,$$

   то есть

   $$-\frac{\pi}{4}+\pi n<x\le \frac{5\pi}{12}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

3. в) $$\sin 2x\sin\frac{x}{2}-\cos 2x\cos\frac{x}{2}>\frac12.$$

   Используем формулу:

   $$\sin A\sin B-\cos A\cos B=-\cos(A+B).$$

   Тогда

   $$-\cos\left(2x+\frac{x}{2}\right)>\frac12,$$

   $$\cos\frac{5x}{2}<-\frac12.$$

   Следовательно,

   $$\frac{2\pi}{3}+2\pi n<\frac{5x}{2}<\frac{4\pi}{3}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z,$$

   откуда

   $$\frac{4\pi}{15}+\frac{4\pi n}{5}<x<\frac{8\pi}{15}+\frac{4\pi n}{5},\qquad n\in\mathbb Z.$$

4. г) $$\sin 3x\cos x+\sin x\cos 3x\le \frac{\sqrt3}{2}.$$

   По формуле суммы синусов:

   $$\sin 3x\cos x+\sin x\cos 3x=\sin(3x+x)=\sin 4x.$$

   Тогда

   $$\sin 4x\le \frac{\sqrt3}{2}.$$

   Отсюда

   $$-\frac{4\pi}{3}+2\pi n\le 4x\le \frac{\pi}{3}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z,$$

   то есть

   $$-\frac{\pi}{3}+\frac{\pi n}{2}\le x\le \frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2},\qquad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$-\frac{3\pi}{4}+2\pi n\le x\le \frac{3\pi}{4}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z;$$

б) $$-\frac{\pi}{4}+\pi n<x\le \frac{5\pi}{12}+\pi n,\ n\in\mathbb Z;$$

в) $$\frac{4\pi}{15}+\frac{4\pi n}{5}<x<\frac{8\pi}{15}+\frac{4\pi n}{5},\ n\in\mathbb Z;$$

г) $$-\frac{\pi}{3}+\frac{\pi n}{2}\le x\le \frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z.$$