Упр.159 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.

1. а) $$2\cos\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)\le 1$$

   Положим $$t=2x+\frac{\pi}{3}.$$ Тогда

   $$2\cos t\le 1 \;\Rightarrow\; \cos t\le \frac12.$$

   На промежутке $$[0;2\pi]$$ это выполняется при

   $$t\in\left[\frac{\pi}{3};\frac{5\pi}{3}\right].$$

   С учётом периодичности косинуса:

   $$t\in\left[\frac{\pi}{3}+2\pi n;\frac{5\pi}{3}+2\pi n\right],\quad n\in\mathbb Z.$$

   Возвращаемся к переменной $$x$$:

   $$ \frac{\pi}{3}+2\pi n\le 2x+\frac{\pi}{3}\le \frac{5\pi}{3}+2\pi n $$

   $$ 2\pi n\le 2x\le \frac{4\pi}{3}+2\pi n $$

   $$ \pi n\le x\le \frac{2\pi}{3}+\pi n $$

   Значит,

   $$x\in\left[\pi n;\frac{2\pi}{3}+\pi n\right],\quad n\in\mathbb Z.$$

2. б) $$\sqrt3\,\tg\left(3x+\frac{\pi}{6}\right)<1$$

   Положим $$t=3x+\frac{\pi}{6}.$$ Тогда

   $$\tg t<\frac{1}{\sqrt3}.$$

   Так как $$\arctan\frac{1}{\sqrt3}=\frac{\pi}{6},$$ то

   $$ t\in\left(-\frac{\pi}{2}+\pi n;\frac{\pi}{6}+\pi n\right),\quad n\in\mathbb Z. $$

   Возвращаемся к $$x$$:

   $$ -\frac{\pi}{2}+\pi n<3x+\frac{\pi}{6}<\frac{\pi}{6}+\pi n $$

   $$ -\frac{2\pi}{3}+\pi n<3x<\pi n $$

   $$ -\frac{2\pi}{9}+\frac{\pi n}{3}

   Следовательно,

   $$x\in\left(-\frac{2\pi}{9}+\frac{\pi n}{3};\frac{\pi n}{3}\right),\quad n\in\mathbb Z.$$

3. в) $$\sqrt2\,\sin\left(\frac{\pi}{4}+\frac{x}{2}\right)\ge 1$$

   Положим $$t=\frac{\pi}{4}+\frac{x}{2}.$$ Тогда

   $$\sin t\ge \frac{1}{\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{2}.$$

   На промежутке $$[0;2\pi]$$ это выполняется при

   $$t\in\left[\frac{\pi}{4};\frac{3\pi}{4}\right].$$

   С учётом периодичности синуса:

   $$ t\in\left[\frac{\pi}{4}+2\pi n;\frac{3\pi}{4}+2\pi n\right],\quad n\in\mathbb Z. $$

   Возвращаемся к $$x$$:

   $$ \frac{\pi}{4}+2\pi n\le \frac{\pi}{4}+\frac{x}{2}\le \frac{3\pi}{4}+2\pi n $$

   $$ 2\pi n\le \frac{x}{2}\le \frac{\pi}{2}+2\pi n $$

   $$ 4\pi n\le x\le \pi+4\pi n $$

   Значит,

   $$x\in\left[4\pi n;\pi+4\pi n\right],\quad n\in\mathbb Z.$$

4. г) $$2\cos\left(4x-\frac{\pi}{6}\right)\ge \sqrt3$$

   Преобразуем неравенство:

   $$\cos\left(4x-\frac{\pi}{6}\right)\ge \frac{\sqrt3}{2}.$$

   Положим $$t=4x-\frac{\pi}{6}.$$ Тогда

   $$\cos t\ge \frac{\sqrt3}{2}.$$

   На промежутке $$[0;2\pi]$$ это выполняется при

   $$t\in\left[-\frac{\pi}{6};\frac{\pi}{6}\right].$$

   С учётом периодичности косинуса:

   $$ t\in\left[-\frac{\pi}{6}+2\pi n;\frac{\pi}{6}+2\pi n\right],\quad n\in\mathbb Z. $$

   Возвращаемся к $$x$$:

   $$ -\frac{\pi}{6}+2\pi n\le 4x-\frac{\pi}{6}\le \frac{\pi}{6}+2\pi n $$

   $$ 2\pi n\le 4x\le \frac{\pi}{3}+2\pi n $$

   $$ \frac{\pi n}{2}\le x\le \frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2} $$

   Следовательно,

   $$x\in\left[\frac{\pi n}{2};\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2}\right],\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x\in\left[\pi n;\frac{2\pi}{3}+\pi n\right],\ n\in\mathbb Z$$
б) $$x\in\left(-\frac{2\pi}{9}+\frac{\pi n}{3};\frac{\pi n}{3}\right),\ n\in\mathbb Z$$
в) $$x\in\left[4\pi n;\pi+4\pi n\right],\ n\in\mathbb Z$$
г) $$x\in\left[\frac{\pi n}{2};\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2}\right],\ n\in\mathbb Z$$