Упр.158 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
а) v(9+3^x-2)?9-3^x; б) vx^log(2; vx) > 2;
в) log(2; v(x+3)-x-1)?0; г) v(4^(x+1)+17)-5 > 2^x.
а) $$\sqrt{9+3^{x+2}}\ge 9-3^x$$
Возведём в квадрат обе части, учитывая, что правая часть должна быть неотрицательной:
$$9+9\cdot 3^x\ge 81-18\cdot 3^x+3^{2x}$$
$$3^{2x}-27\cdot 3^x+72\le 0,\qquad 9-3^x\le 0$$
Положим $$t=3^x$$, тогда:
$$t^2-27t+72\le 0$$
$$D=27^2-4\cdot 72=441$$
$$t_1=\frac{27-21}{2}=3,\qquad t_2=\frac{27+21}{2}=24$$
Следовательно,
$$3\le 3^x\le 24$$
С учётом условия $$9-3^x\le 0$$ получаем:
$$3^x\ge 9$$
$$x\ge 1$$
Значит,
$$x\in[1;+\infty)$$
б) $$\sqrt{x^{\log_2\sqrt{x}}}>2$$
Область определения: $$x>0$$.
Возведём в квадрат:
$$x^{\log_2\sqrt{x}}>4$$
Так как $$\log_2\sqrt{x}=\frac12\log_2 x$$, то
$$x^{\frac12\log_2 x}>4$$
Переходим к основанию $$2$$:
$$\log_2\left(x^{\frac12\log_2 x}\right)>\log_2 4$$
$$\frac12(\log_2 x)^2>2$$
$$(\log_2 x)^2>4$$
$$|\log_2 x|>2$$
Отсюда:
$$\log_2 x<-2 \quad \text{или} \quad \log_2 x>2$$
$$x<\frac14 \quad \text{или} \quad x>4$$
С учётом ОДЗ:
$$x\in\left(0;\frac14\right)\cup(4;+\infty)$$
в) $$\log_2(\sqrt{x+3}-x-1)\le 0$$
Так как основание логарифма больше 1, то:
$$0<\sqrt{x+3}-x-1\le 1$$
Решим систему:
$$\sqrt{x+3}-x-1\le 1 \iff \sqrt{x+3}\le x+2$$
$$x+3\le x^2+4x+4$$
$$x^2+3x+1\ge 0$$
Корни:
$$x_{1,2}=\frac{-3\pm\sqrt5}{2}$$
Тогда
$$x\le \frac{-3-\sqrt5}{2}\quad \text{или}\quad x\ge \frac{-3+\sqrt5}{2}$$
Теперь найдём область определения:
$$\sqrt{x+3}-x-1>0 \iff \sqrt{x+3}>x+1$$
$$x+3>x^2+2x+1$$
$$x^2+x-2<0$$
$$ (x+2)(x-1)<0$$
$$-2<x<1$$
Также нужно $$x+3\ge 0$$, то есть $$x\ge -3$$, что здесь уже выполнено.
Пересекаем условия:
$$\left[-\frac{3-\sqrt5}{2};+\infty\right)\cap(-2;1)=\left[\frac{-3+\sqrt5}{2};1\right)$$
г) $$\sqrt{4^{x+1}+17}-5>2^x$$
Перенесём 5:
$$\sqrt{4^{x+1}+17}>2^x+5$$
Так как $$4^{x+1}=4\cdot 4^x=4\cdot 2^{2x}$$, получаем:
$$\sqrt{4\cdot 2^{2x}+17}>2^x+5$$
Возведём в квадрат:
$$4\cdot 2^{2x}+17>2^{2x}+10\cdot 2^x+25$$
$$3\cdot 2^{2x}-10\cdot 2^x-8>0$$
Положим $$t=2^x$$, тогда $$t>0$$ и
$$3t^2-10t-8>0$$
$$D=100+96=196$$
$$t_1=\frac{10-14}{6}=-\frac23,\qquad t_2=\frac{10+14}{6}=4$$
Так как $$t>0$$, то
$$t>4$$
Следовательно,
$$2^x>4$$
$$x>2$$
Ответ
а) $$[1;+\infty)$$; б) $$\left(0;\frac14\right)\cup(4;+\infty)$$; в) $$\left[\frac{-3+\sqrt5}{2};1\right)$$; г) $$ (2;+\infty)$$.
