Упр.158 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) arccos((1+2x)/3)=2?/3; б) arctg(2x-1)=-?/4;
в) arcsin((x+2)/4)=-?/3; г) arctg(2-3x)=3?/4.

1. $$\arccos\frac{1+2x}{3}=\frac{2\pi}{3}$$

   Тогда

   $$\frac{1+2x}{3}=\cos\frac{2\pi}{3}=-\frac12.$$

   Отсюда

   $$1+2x=-\frac32,\quad 2x=-\frac52,\quad x=-\frac54.$$

2. $$\arctg(2x-1)=-\frac{\pi}{4}$$

   Тогда

   $$2x-1=\tg\left(-\frac{\pi}{4}\right)=-1.$$

   Следовательно,

   $$2x=0,\quad x=0.$$

3. $$\arcsin\frac{x+2}{4}=-\frac{\pi}{3}$$

   Тогда

   $$\frac{x+2}{4}=\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt3}{2}.$$

   Отсюда

   $$x+2=-2\sqrt3,\quad x=-2-2\sqrt3=-2(\sqrt3+1).$$

4. $$\arctg(2-3x)=\frac{3\pi}{4}$$

   Но значение функции $$\arctg$$ всегда принадлежит промежутку $$\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right),$$ а число $$\frac{3\pi}{4}$$ этому промежутку не принадлежит.

   Значит, уравнение не имеет решений.

Ответ

а) $$x=-\frac54$$; б) $$x=0$$; в) $$x=-2(\sqrt3+1)$$; г) корней нет.