Упр.158 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.

1. $$\sin 2x<\frac12$$

   Значение $$\sin t=\frac12$$ достигается при

   $$t=\frac{\pi}{6}+2\pi n \quad \text{и} \quad t=\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   Тогда для неравенства $$\sin t<\frac12$$ получаем

   $$t\in\left(-\frac{7\pi}{6}+2\pi n;\,\frac{\pi}{6}+2\pi n\right),\quad n\in\mathbb Z.$$

   Подставляя $$t=2x$$, имеем

   $$2x\in\left(-\frac{7\pi}{6}+2\pi n;\,\frac{\pi}{6}+2\pi n\right),\quad n\in\mathbb Z,$$

   откуда

   $$x\in\left(-\frac{7\pi}{12}+\pi n;\,\frac{\pi}{12}+\pi n\right),\quad n\in\mathbb Z.$$

2. $$\cos\frac{x}{3}>\frac{\sqrt3}{2}$$

   Значение $$\cos t=\frac{\sqrt3}{2}$$ достигается при

   $$t\in\left(-\frac{\pi}{6}+2\pi n;\,\frac{\pi}{6}+2\pi n\right),\quad n\in\mathbb Z.$$

   Пусть $$t=\frac{x}{3}$$. Тогда

   $$\frac{x}{3}\in\left(-\frac{\pi}{6}+2\pi n;\,\frac{\pi}{6}+2\pi n\right),\quad n\in\mathbb Z,$$

   следовательно,

   $$x\in\left(-\frac{\pi}{2}+6\pi n;\,\frac{\pi}{2}+6\pi n\right),\quad n\in\mathbb Z.$$

3. $$\sin\frac{x}{2}<-\frac{\sqrt3}{2}$$

   Значение $$\sin t=-\frac{\sqrt3}{2}$$ достигается при

   $$t=-\frac{2\pi}{3}+2\pi n \quad \text{и} \quad t=-\frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   Тогда

   $$t\in\left(-\frac{4\pi}{3}+2\pi n;\,-\frac{2\pi}{3}+2\pi n\right),\quad n\in\mathbb Z.$$

   Подставляя $$t=\frac{x}{2}$$, получаем

   $$x\in\left(-\frac{8\pi}{3}+4\pi n;\,-\frac{4\pi}{3}+4\pi n\right),\quad n\in\mathbb Z.$$

4. $$\tg 5x>1$$

   Значение $$\tg t=1$$ достигается при

   $$t=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   Так как тангенс возрастает на каждом промежутке $$\left(-\frac{\pi}{2}+\pi n;\,\frac{\pi}{2}+\pi n\right)$$, то

   $$\tg t>1 \iff t\in\left(\frac{\pi}{4}+\pi n;\,\frac{\pi}{2}+\pi n\right),\quad n\in\mathbb Z.$$

   Пусть $$t=5x$$. Тогда

   $$5x\in\left(\frac{\pi}{4}+\pi n;\,\frac{\pi}{2}+\pi n\right),\quad n\in\mathbb Z,$$

   откуда

   $$x\in\left(\frac{\pi}{20}+\frac{\pi n}{5};\,\frac{\pi}{10}+\frac{\pi n}{5}\right),\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x\in\left(-\frac{7\pi}{12}+\pi n;\,\frac{\pi}{12}+\pi n\right),\ n\in\mathbb Z$$
б) $$x\in\left(-\frac{\pi}{2}+6\pi n;\,\frac{\pi}{2}+6\pi n\right),\ n\in\mathbb Z$$
в) $$x\in\left(-\frac{8\pi}{3}+4\pi n;\,-\frac{4\pi}{3}+4\pi n\right),\ n\in\mathbb Z$$
г) $$x\in\left(\frac{\pi}{20}+\frac{\pi n}{5};\,\frac{\pi}{10}+\frac{\pi n}{5}\right),\ n\in\mathbb Z$$