Упр.157 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Задача

а) x+x/v(x^2-1) > 35/12;
б) (x-1/3)^2-25/9 > (3x^2+4/9)/(2(x-1/3)+v(x(x-8/3))).

Подробный ответ

а) Рассмотрим неравенство

$$x+\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}>\frac{35}{12}.$$

Перенесём всё в одну сторону и приведём к общему виду:

$$x-\frac{35}{12}+\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}>0.$$

После преобразований получаем

$$\frac{1}{x}(x-\frac{5}{4})(x-\frac{5}{3})\left(1+\frac{(x+\frac{5}{4})(x+\frac{5}{3})}{\sqrt{x^2-1}\left(x^2+\frac{25}{12}\sqrt{x^2-1}\right)}\right)>0.$$

Так как

$$1+\frac{(x+\frac{5}{4})(x+\frac{5}{3})}{\sqrt{x^2-1}\left(x^2+\frac{25}{12}\sqrt{x^2-1}\right)}>0,$$

то достаточно решить систему знаков с учётом области определения:

$$x^2-1>0,\quad x>0.$$

Тогда

$$x>1,$$

и нужно, чтобы

$$\left(x-\frac{5}{4}\right)\left(x-\frac{5}{3}\right)>0.$$

Отсюда

$$x\in\left(1;\frac{5}{4}\right)\cup\left(\frac{5}{3};+\infty\right).$$

б) Рассмотрим неравенство

$$\left(x-\frac{1}{3}\right)^2-\frac{25}{9}>\frac{3x^2+\frac{4}{9}}{2\left(x-\frac{1}{3}\right)+\sqrt{x\left(x-\frac{8}{3}\right)}}.$$

Преобразуем числитель дроби:

$$3x^2+\frac{4}{9}=4\left(x-\frac{1}{3}\right)^2-x\left(x-\frac{8}{3}\right).$$

Тогда

$$\left(x-\frac{1}{3}\right)^2-\frac{25}{9}>\frac{4\left(x-\frac{1}{3}\right)^2-x\left(x-\frac{8}{3}\right)}{2\left(x-\frac{1}{3}\right)+\sqrt{x\left(x-\frac{8}{3}\right)}}.$$

После сокращения и упрощения получаем

$$x^2-\frac{8x}{3}+\sqrt{x^2-\frac{8x}{3}}>2.$$

Положим

$$y=\sqrt{x^2-\frac{8x}{3}}.$$

Тогда

$$y^2+y-2>0,$$

откуда

$$\left(y+2\right)\left(y-1\right)>0.$$

Так как $$y\ge 0,$$ то остаётся

$$y>1.$$

Следовательно,

$$\sqrt{x^2-\frac{8x}{3}}>1,$$