Упр.156 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) 6/(ctg(x)+2)=3-ctg(x); б) 1+2cos(3x)cos(x)-cos(2x)=0;
в) 15/(sin(x)+1)=11-2sin(x); г) ctg(x)+sin(x)/(1+cos(x))=2.

1. $$\frac{6}{\ctg x+2}=3-\ctg x$$
   
   $$6=(3-\ctg x)(\ctg x+2)$$
   
   $$6=3\ctg x+6-\ctg^2 x-2\ctg x$$
   
   $$\ctg^2 x-\ctg x=0$$
   
   $$\ctg x(\ctg x-1)=0$$
   
   Отсюда:
   $$\ctg x=0 \quad \text{или} \quad \ctg x=1$$
   
   $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n \quad \text{или} \quad x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$
2. $$1+2\cos 3x\cos x-\cos 2x=0$$
   
   Используем формулу:
   $$2\cos 3x\cos x=\cos 4x+\cos 2x$$
   
   Тогда
   $$1+\cos 4x+\cos 2x-\cos 2x=0$$
   
   $$1+\cos 4x=0$$
   
   $$\cos 4x=-1$$
   
   $$4x=\pi+2\pi n$$
   
   $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\; n\in\mathbb Z.$$
3. $$\frac{15}{\sin x+1}=11-2\sin x$$
   
   $$15=(11-2\sin x)(\sin x+1)$$
   
   $$15=11\sin x+11-2\sin^2 x-2\sin x$$
   
   $$2\sin^2 x-9\sin x+4=0$$
   
   Пусть $$y=\sin x$$. Тогда
   $$2y^2-9y+4=0$$
   
   $$D=81-32=49$$
   
   $$y_{1,2}=\frac{9\pm 7}{4}$$
   
   $$y_1=\frac12,\quad y_2=4$$
   
   Значение $$y=4$$ не подходит, так как $$|\sin x|\le 1$$. Значит,
   $$\sin x=\frac12$$
   
   $$x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$
4. $$\ctg x+\frac{\sin x}{1+\cos x}=2$$
   
   Используем тождество
   $$\frac{\sin x}{1+\cos x}=\tg\frac{x}{2}$$
   и формулу
   $$\ctg x=\frac{1-\tg^2\frac{x}{2}}{2\tg\frac{x}{2}}.$$
   Обозначим $$t=\tg\frac{x}{2}$$. Тогда
   $$\frac{1-t^2}{2t}+t=2$$
   
   $$\frac{1-t^2+2t^2}{2t}=2$$
   
   $$\frac{1+t^2}{2t}=2$$
   
   $$1+t^2=4t$$
   
   $$t^2-4t+1=0$$
   
   $$t=2\pm\sqrt3.$$
   
   Следовательно,
   $$\tg\frac{x}{2}=2\pm\sqrt3.$$
   Так как
   $$\tg\frac{\pi}{12}=2-\sqrt3,\qquad \tg\frac{5\pi}{12}=2+\sqrt3,$$
   получаем
   $$x=\frac{\pi}{6}+2\pi n \quad \text{или} \quad x=\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\; x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\; n\in\mathbb Z$$

б) $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\; n\in\mathbb Z$$

в) $$x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\; n\in\mathbb Z$$

г) $$x=\frac{\pi}{6}+2\pi n,\; x=\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\; n\in\mathbb Z$$