Упр.155 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) cos(2x)-cos(6x)=0; б) sin(x)+sin(2x)+sin(3x)=0;
в) sin(x)+sin(3x)=0; г) cos(?/2+5x)+sin(x)=2cos(3x).

1. а) $$\cos 2x-\cos 6x=0$$

   Используем формулу разности косинусов:

   $$\cos A-\cos B=-2\sin\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}$$

   Тогда

   $$\cos 2x-\cos 6x=-2\sin 4x\sin(-2x)=0.$$

   Следовательно,

   $$\sin 4x=0 \quad \text{или} \quad \sin 2x=0.$$

   Отсюда

   $$4x=\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi n}{4},$$

   $$2x=\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi n}{2}, \quad n\in\mathbb Z.$$

   Так как множество $$x=\frac{\pi n}{2}$$ входит в множество $$x=\frac{\pi n}{4}$$, окончательно получаем:

   $$x=\frac{\pi n}{4}, \quad n\in\mathbb Z.$$

2. б) $$\sin x+\sin 2x+\sin 3x=0$$

   Сгруппируем первые и третьи слагаемые:

   $$\sin x+\sin 3x+ \sin 2x=0.$$

   По формуле суммы синусов:

   $$\sin x+\sin 3x=2\sin 2x\cos x.$$

   Тогда

   $$2\sin 2x\cos x+\sin 2x=0,$$

   $$\sin 2x(2\cos x+1)=0.$$

   Отсюда

   $$\sin 2x=0 \quad \text{или} \quad 2\cos x+1=0.$$

   1) $$\sin 2x=0 \Rightarrow 2x=\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi n}{2}, \quad n\in\mathbb Z.$$

   2) $$\cos x=-\frac12 \Rightarrow x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n, \quad n\in\mathbb Z.$$

3. в) $$\sin x+\sin 3x=0$$

   Используем формулу суммы синусов:

   $$\sin x+\sin 3x=2\sin 2x\cos x=0.$$

   Следовательно,

   $$\sin 2x=0 \quad \text{или} \quad \cos x=0.$$

   1) $$\sin 2x=0 \Rightarrow 2x=\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi n}{2}, \quad n\in\mathbb Z.$$

   2) $$\cos x=0 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+\pi n, \quad n\in\mathbb Z.$$

   Но это множество уже содержится в решениях $$x=\frac{\pi n}{2}$$, поэтому окончательно:

   $$x=\frac{\pi n}{2}, \quad n\in\mathbb Z.$$

4. г) $$\cos\left(\frac{\pi}{2}+5x\right)+\sin x=2\cos 3x$$

   Преобразуем косинус:

   $$\cos\left(\frac{\pi}{2}+5x\right)=-\sin 5x.$$

   Тогда

   $$-\sin 5x+\sin x=2\cos 3x.$$

   Перенесём всё в одну сторону и применим формулу разности синусов:

   $$\sin x-\sin 5x-2\cos 3x=0,$$

   $$2\sin(-2x)\cos 3x-2\cos 3x=0,$$

   $$2\cos 3x(\sin 2x+1)=0.$$

   Следовательно,

   $$\cos 3x=0 \quad \text{или} \quad \sin 2x=-1.$$

   1) $$\cos 3x=0 \Rightarrow 3x=\frac{\pi}{2}+\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{3}, \quad n\in\mathbb Z.$$

   2) $$\sin 2x=-1 \Rightarrow 2x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n \Rightarrow x=-\frac{\pi}{4}+\pi n, \quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x=\frac{\pi n}{4}, \ n\in\mathbb Z$$

б) $$x=\frac{\pi n}{2}, \ n\in\mathbb Z; \quad x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n, \ n\in\mathbb Z$$

в) $$x=\frac{\pi n}{2}, \ n\in\mathbb Z$$

г) $$x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{3}, \ n\in\mathbb Z; \quad x=-\frac{\pi}{4}+\pi n, \ n\in\mathbb Z$$