Упр.154 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
а) v(x^2-3x+2) > 2x-5; б) v(3x-x^2) < 4-x; в) 3vx-v(x+3) > 1; г) x-v(1-|x|) < 0.
а) $$\sqrt{x^2-3x+2}>2x-5.$$
Если $$2x-5<0,$$ то неравенство выполняется при всех $$x,$$ для которых определён корень:
$$x^2-3x+2\ge 0,$$
$$ (x-1)(x-2)\ge 0 \;\Rightarrow\; x\le 1 \text{ или } x\ge 2.$$
При $$2x-5\ge 0$$ возводим обе части в квадрат:
$$x^2-3x+2>(2x-5)^2,$$
$$x^2-3x+2>4x^2-20x+25,$$
$$3x^2-17x+23<0.$$
Найдём корни:
$$D=17^2-4\cdot 3\cdot 23=13,$$
$$x_{1,2}=\frac{17\pm \sqrt{13}}{6}.$$
Так как ветви параболы направлены вверх, то
$$3x^2-17x+23<0 \;\Rightarrow\; \frac{17-\sqrt{13}}{6}<x<\frac{17+\sqrt{13}}{6}.$$
С учётом условия $$2x-5\ge 0$$ получаем
$$x\ge \frac52.$$
Итак,
$$x\in (-\infty;1]\cup \left[2;\frac{17+\sqrt{13}}{6}\right).$$
б) $$\sqrt{3x-x^2}<4-x.$$
Для существования корня нужно:
$$3x-x^2\ge 0 \;\Rightarrow\; x(x-3)\le 0 \;\Rightarrow\; 0\le x\le 3.$$
Кроме того, правая часть должна быть положительной:
$$4-x>0 \;\Rightarrow\; x<4.$$
На области определения $$0\le x\le 3$$ можно возвести обе части в квадрат:
$$3x-x^2<(4-x)^2,$$
$$3x-x^2<16-8x+x^2,$$
$$2x^2-11x+16>0.$$
Дискриминант:
$$D=11^2-4\cdot 2\cdot 16=121-128=-7<0.$$
Так как $$a>0,$$ то $$2x^2-11x+16>0$$ при всех $$x.$$
Значит, остаётся только область определения:
$$x\in [0;3].$$
в) $$3\sqrt{x}-\sqrt{x+3}>1.$$
Перенесём корень вправо:
$$3\sqrt{x}>1+\sqrt{x+3}.$$
Возведём в квадрат:
$$9x>1+2\sqrt{x+3}+x+3,$$
$$2\sqrt{x+3}<8x-4,$$
$$\sqrt{x+3}<4x-2.$$
Теперь снова возведём в квадрат:
$$x+3<(4x-2)^2,$$
$$x+3<16x^2-16x+4,$$
$$16x^2-17x+1>0.$$
Найдём корни:
$$D=17^2-4\cdot 16\cdot 1=225,$$
$$x_{1,2}=\frac{17\pm 15}{32},$$
$$x_1=\frac{1}{16},\quad x_2=1.$$
Тогда
$$16x^2-17x+1>0 \;\Rightarrow\; x<\frac{1}{16}\ \text{или}\ x>1.$$
С учётом области определения:
$$x\ge 0,\quad x+3\ge 0,\quad 4x-2>0 \Rightarrow x>\frac12.$$
Пересечение даёт
$$x\in (1;+\infty).$$
г) $$x-\sqrt{1-|x|}<0.$$
Перенесём корень:
$$x<\sqrt{1-|x|}.$$
Так как правая часть неотрицательна, то обязательно $$x<1.$$
Возведём в квадрат:
$$x^2<1-|x|,$$
$$x^2+|x|-1<0.$$
Обозначим $$t=|x|,\; t\ge 0.$$ Тогда
$$t^2+t-1<0.$$
Корни уравнения $$t^2+t-1=0$$:
$$t_{1,2}=\frac{-1\pm \sqrt5}{2}.$$
С учётом $$t\ge 0$$ получаем
$$0\le t<\frac{-1+\sqrt5}{2}.$$
Значит,
$$|x|<\frac{-1+\sqrt5}{2},$$
то есть
$$-\frac{-1+\sqrt5}{2}<x<\frac{-1+\sqrt5}{2}.$$
Итак,
$$x\in \left(-\frac{-1+\sqrt5}{2};\frac{-1+\sqrt5}{2}\right).$$
Ответ
а) $$(-\infty;1]\cup \left[2;\frac{17+\sqrt{13}}{6}\right);$$ б) $$[0;3];$$ в) $$(1;+\infty);$$ г) $$\left(-\frac{-1+\sqrt5}{2};\frac{-1+\sqrt5}{2}\right).$$
