Упр.153 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Задача

а) x+v(1-x^2)=a; б) v(x^2-1)+x=a.

Подробный ответ

Решим уравнение
$$x+\sqrt{1-x^2}=a.$$
Перенесём корень:
$$\sqrt{1-x^2}=a-x.$$
Возведём в квадрат:
$$1-x^2=a^2-2ax+x^2,$$
$$2x^2-2ax+a^2-1=0.$$
Найдём корни этого квадратного уравнения:
$$D=(2a)^2-4\cdot 2\cdot(a^2-1)=8-4a^2=4(2-a^2),$$
$$x=\frac{2a\pm 2\sqrt{2-a^2}}{4}=\frac{a\pm \sqrt{2-a^2}}{2}.$$
Чтобы эти значения подходили, нужно:
$$2-a^2\ge 0,$$
а также $$a-x\ge 0.$$
Для корня
$$x=\frac{a-\sqrt{2-a^2}}{2}$$
получаем условие
$$a-\frac{a-\sqrt{2-a^2}}{2}\ge 0,$$
откуда
$$a+\sqrt{2-a^2}\ge 0.$$
Это верно при $$-1\le a\le 1.$$
Для корня
$$x=\frac{a+\sqrt{2-a^2}}{2}$$
нужно
$$a-\frac{a+\sqrt{2-a^2}}{2}\ge 0,$$
то есть
$$a-\sqrt{2-a^2}\ge 0.$$
Отсюда
$$a\le -1 \quad \text{или} \quad a\ge 1.$$
С учётом $$2-a^2\ge 0$$ получаем:
$$-1\le a\le -1 \quad \text{или} \quad 1\le a\le \sqrt{2}.$$
При $$a=\sqrt{2}$$ имеем один корень:
$$x=\frac{\sqrt{2}}{2}.$$
Решим уравнение
$$\sqrt{x^2-1}+x=a.$$
Перенесём корень:
$$\sqrt{x^2-1}=a-x.$$
Возведём в квадрат:
$$x^2-1=a^2-2ax+x^2,$$
$$2ax=a^2+1,$$
$$x=\frac{a^2+1}{2a}, \quad a\ne 0.$$
Проверим условие существования решения:
$$a-x\ge 0,$$
$$a-\frac{a^2+1}{2a}\ge 0,$$
$$\frac{a^2-1}{a}\ge 0,$$
$$\frac{(a-1)(a+1)}{a}\ge 0.$$
Отсюда
$$-1\le a<0 \quad \text{или} \quad a\ge 1.$$