Упр.153 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) sin^3(x)-cos^3(x)=1+sin(2x)/2;
б) cos(?/4+x)+cos(?/4-x)=1;
в) cos^4(x)-sin^4(x)=v3/2;
г) sin(?/6+x)-sin(?/6-x)=1.

1. а) $$\sin^3 x-\cos^3 x=1+\frac{\sin 2x}{2}$$

   Разложим разность кубов и учтём, что $$\sin 2x=2\sin x\cos x$$:

   $$ (\sin x-\cos x)(\sin^2 x+\sin x\cos x+\cos^2 x)=1+\sin x\cos x $$

   Так как $$\sin^2 x+\cos^2 x=1$$, получаем:

   $$ (\sin x-\cos x)(1+\sin x\cos x)=1+\sin x\cos x $$

   Перенесём всё в одну сторону:

   $$ (1+\sin x\cos x)(\sin x-\cos x-1)=0 $$

   Отсюда:

   $$ 1+\sin x\cos x=0 $$

   или

   $$ \sin x-\cos x-1=0 $$

   Первое уравнение невозможно, так как $$\sin x\cos x\in\left[-\frac12,\frac12\right]$$, значит $$1+\sin x\cos x\neq 0$$.

   Решаем второе:

   $$ \sin x-\cos x=1 $$

   $$ \sqrt2\left(\frac{\sin x-\cos x}{\sqrt2}\right)=1 $$

   $$ \sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt2}{2} $$

   Тогда

   $$ x-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4}+2\pi n \quad \text{или} \quad x-\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4}+2\pi n $$

   $$ x=\frac{\pi}{2}+2\pi n \quad \text{или} \quad x=\pi+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z $$

2. б) $$\cos\left(\frac{\pi}{4}+x\right)+\cos\left(\frac{\pi}{4}-x\right)=1$$

   Используем формулу суммы косинусов:

   $$ \cos A+\cos B=2\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2} $$

   Тогда

   $$ \cos\left(\frac{\pi}{4}+x\right)+\cos\left(\frac{\pi}{4}-x\right)=2\cos\frac{\pi}{4}\cos x $$

   $$ 2\cdot\frac{\sqrt2}{2}\cos x=1 $$

   $$ \cos x=\frac{\sqrt2}{2} $$

   Следовательно,

   $$ x=\pm\frac{\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z $$

3. в) $$\cos^4 x-\sin^4 x=\frac{\sqrt3}{2}$$

   Разложим разность квадратов:

   $$ \cos^4 x-\sin^4 x=(\cos^2 x-\sin^2 x)(\cos^2 x+\sin^2 x) $$

   Так как $$\cos^2 x+\sin^2 x=1$$, то

   $$ \cos^2 x-\sin^2 x=\frac{\sqrt3}{2} $$

   Но $$\cos^2 x-\sin^2 x=\cos 2x$$, значит

   $$ \cos 2x=\frac{\sqrt3}{2} $$

   Отсюда

   $$ 2x=\pm\frac{\pi}{6}+2\pi n $$

   $$ x=\pm\frac{\pi}{12}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z $$

4. г) $$\sin\left(\frac{\pi}{6}+x\right)-\sin\left(\frac{\pi}{6}-x\right)=1$$

   Используем формулу разности синусов:

   $$ \sin A-\sin B=2\cos\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2} $$

   Тогда

   $$ \sin\left(\frac{\pi}{6}+x\right)-\sin\left(\frac{\pi}{6}-x\right)=2\cos\frac{\pi}{6}\sin x $$

   $$ 2\cdot\frac{\sqrt3}{2}\sin x=1 $$

   $$ \sin x=\frac{1}{\sqrt3} $$

   Следовательно,

   $$ x=(-1)^n\arcsin\frac{1}{\sqrt3}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z $$

Ответ

а) $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ \pi+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$

б) $$x=\pm\frac{\pi}{4}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$

в) $$x=\pm\frac{\pi}{12}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$

г) $$x=(-1)^n\arcsin\frac{1}{\sqrt3}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$