Упр.152 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колмогоров, Абрамов, Дудницын 10 класс, Просвещение: 152. Решите уравнение (1+x-v(2x+x^2))/(1+x+v(2x+x^2))=27·(v(2+x)+vx)/(v(2+x)-vx).

Подробный ответ

Обозначим $$a=\sqrt{x}, \quad b=\sqrt{x+2}.$$ Тогда область допустимых значений: $$x\ge 0.$$

Исходное уравнение преобразуем:

$$ \frac{1+x-\sqrt{2x+x^2}}{1+x+\sqrt{2x+x^2}} = 27\cdot \frac{\sqrt{x+2}+\sqrt{x}}{\sqrt{x+2}-\sqrt{x}}. $$

Так как $$\sqrt{2x+x^2}=\sqrt{x(x+2)}=\sqrt{x}\sqrt{x+2}=ab,$$ а также $$1+x=\frac{x}{2}+\frac{x+2}{2},$$ получаем

$$ \frac{\frac{x}{2}-\sqrt{x(x+2)}+\frac{x+2}{2}}{\frac{x}{2}+\sqrt{x(x+2)}+\frac{x+2}{2}} = 27\cdot \frac{\sqrt{x+2}+\sqrt{x}}{\sqrt{x+2}-\sqrt{x}}. $$

После преобразования числителя и знаменателя:

$$ \left(\frac{\sqrt{x}-\sqrt{x+2}}{\sqrt{2}}\right)^2 : \left(\frac{\sqrt{x}+\sqrt{x+2}}{\sqrt{2}}\right)^2 = 27\cdot \frac{\sqrt{x+2}+\sqrt{x}}{\sqrt{x+2}-\sqrt{x}}. $$

То есть

$$ \left(\frac{\sqrt{x}-\sqrt{x+2}}{\sqrt{x}+\sqrt{x+2}}\right)^2 = 27\cdot \frac{\sqrt{x+2}+\sqrt{x}}{\sqrt{x+2}-\sqrt{x}}. $$

Положим $$a=\sqrt{x}, \quad b=\sqrt{x+2}.$$ Тогда уравнение принимает вид

$$ \frac{a^2}{b^2}=27\cdot\frac{b}{a}. $$

Умножим на $$a b^2$$:

$$ a^3=27b^3. $$

Следовательно,

$$ a=3b, $$

то есть

$$ \sqrt{x}=3\sqrt{x+2}. $$

Возведём в квадрат:

$$ x=9(x+2). $$