Упр.152 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
а) cos(x)+2cos(2x)=1; б) 4sin(2x)-3sin(2x-?/3)=5;
в) 2cos^2(x)+4cos(x)=3sin^(x); г) cos^2(x)+4sin^2(x)=2sin(2x).
а) $$\cos x+2\cos 2x=1$$
Используем формулу $$\cos 2x=2\cos^2 x-1$$:
$$ \cos x+2(2\cos^2 x-1)=1 $$
$$ 4\cos^2 x+\cos x-3=0 $$Пусть $$y=\cos x$$. Тогда
$$ 4y^2+y-3=0 $$
$$ D=1+48=49 $$
$$ y_{1,2}=\frac{-1\pm 7}{8} $$
$$ y_1=-1,\quad y_2=\frac34 $$Следовательно,
$$ \cos x=-1 \quad \text{или} \quad \cos x=\frac34 $$
$$ x=\pi+2\pi n,\quad x=\pm \arccos \frac34+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z $$б) $$4\sin 2x-3\sin\left(2x-\frac{\pi}{2}\right)=5$$
Так как $$\sin\left(2x-\frac{\pi}{2}\right)=-\cos 2x$$, получаем:
$$ 4\sin 2x+3\cos 2x=5 $$
Переходим к функциям $$\sin x$$ и $$\cos x$$:
$$ 8\sin x\cos x+3(\cos^2 x-\sin^2 x)=5(\sin^2 x+\cos^2 x) $$
$$ 8\sin^2 x-8\sin x\cos x+2\cos^2 x=0 $$
$$ 4\sin^2 x-4\sin x\cos x+\cos^2 x=0 $$
$$ (2\sin x-\cos x)^2=0 $$Значит,
$$ 2\sin x-\cos x=0,\quad \tg x=\frac12 $$
$$ x=\arctg \frac12+\pi n,\quad n\in\mathbb Z $$в) $$2\cos^2 x+4\cos x=3\sin^2 x$$
Заменим $$\sin^2 x=1-\cos^2 x$$:
$$ 2\cos^2 x+4\cos x=3-3\cos^2 x $$
$$ 5\cos^2 x+4\cos x-3=0 $$Пусть $$y=\cos x$$. Тогда
$$ 5y^2+4y-3=0 $$
$$ D=16+60=76=4\cdot 19 $$
$$ y_{1,2}=\frac{-4\pm 2\sqrt{19}}{10}=\frac{-2\pm \sqrt{19}}{5} $$Из них подходит только
$$ \cos x=\frac{\sqrt{19}-2}{5} $$
Следовательно,
$$ x=\pm \arccos \frac{\sqrt{19}-2}{5}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z $$
г) $$\cos^2 x+4\sin^2 x=2\sin 2x$$
Преобразуем правую часть: $$\sin 2x=2\sin x\cos x$$.
$$ \cos^2 x+4\sin^2 x=4\sin x\cos x $$
$$ \cos^2 x-4\sin x\cos x+4\sin^2 x=0 $$
$$ (\cos x-2\sin x)^2=0 $$Тогда
$$ \cos x-2\sin x=0,\quad \tg x=\frac12 $$
$$ x=\arctg \frac12+\pi n,\quad n\in\mathbb Z $$
Ответ
а) $$x=\pi+2\pi n,\ \ x=\pm \arccos \frac34+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$;
б) $$x=\arctg \frac12+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$;
в) $$x=\pm \arccos \frac{\sqrt{19}-2}{5}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$;
г) $$x=\arctg \frac12+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$.
