Упр.151 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) v(x^2-6x+9) > 3; б) v(x^2-2x+3)/(2x^2+x+1)?0;
в) v(25-20x+4x^2)?1; г) v(2x-x^2+15)(3x-x^2-4)?0.

а) $$\sqrt{x^2-6x+9}>3$$

Возведём обе части в квадрат:

$$x^2-6x+9>9$$

$$x^2-6x>0$$

$$x(x-6)>0$$

Отсюда:

$$x<0 \text{ или } x>6$$

б) $$\frac{\sqrt{x^2-2x+3}}{2x^2+x+1}\ge 0$$

Числитель $$\sqrt{x^2-2x+3}$$ определён при всех $$x$$, так как

$$x^2-2x+3=(x-1)^2+2>0.$$

Знаменатель тоже всегда положителен, поскольку

$$D=1-8=-7<0,$$

а старший коэффициент положителен, значит

$$2x^2+x+1>0 \text{ при всех } x.$$

Следовательно, дробь неотрицательна при всех $$x$$.

в) $$\sqrt{25-20x+4x^2}\le 1$$

Так как подкоренное выражение неотрицательно, возведём в квадрат:

$$25-20x+4x^2\le 1$$

$$4x^2-20x+24\le 0$$

$$x^2-5x+6\le 0$$

$$ (x-2)(x-3)\le 0 $$

Отсюда

$$2\le x\le 3.$$

г) $$\sqrt{2x-x^2+15}\,(3x-x^2-4)\le 0$$

Найдём область определения корня:

$$2x-x^2+15\ge 0$$

$$-x^2+2x+15\ge 0$$

$$x^2-2x-15\le 0$$

$$ (x-5)(x+3)\le 0 $$

Отсюда

$$-3\le x\le 5.$$

Теперь рассмотрим второй множитель:

$$3x-x^2-4=-(x^2-3x+4).$$

У квадратного трёхчлена

$$D=9-16=-7<0,$$

поэтому $$x^2-3x+4>0$$ при всех $$x$$, значит

$$3x-x^2-4<0 \text{ при всех } x.$$

Корень неотрицателен, следовательно произведение $$\le 0$$ при всех $$x$$ из области определения.

Ответ

а) $$(-\infty;0)\cup(6;+\infty)$$; б) $$(-\infty;+\infty)$$; в) $$[2;3]$$; г) $$[-3;5]$$.