Упр.150 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) (x+1)^(1/3)+(3x+1)^(1/3)=(x-1)^(1/3);
б) x^(1/3)+(x-16)^(1/3)=(x-8)^(1/3).

а) Обозначим

$$a=\sqrt[3]{x+1},\quad b=\sqrt[3]{3x+1},\quad c=\sqrt[3]{x-1}.$$

Тогда исходное уравнение имеет вид

$$a+b=c.$$

Возведём обе части в куб:

$$ (a+b)^3=c^3 $$

$$ a^3+b^3+3ab(a+b)=x-1. $$

Подставим $a^3=x+1$, $b^3=3x+1$, $a+b=c$:

$$ (x+1)+(3x+1)+3ab\,c=x-1. $$

$$ 4x+2+3\sqrt[3]{(x+1)(3x+1)(x-1)}=x-1. $$

После преобразований получаем

$$ \sqrt[3]{\frac{3x+1}{x+1}}+\sqrt[3]{\left(\frac{3x+1}{x+1}\right)^2}=-1,\quad x\ne -1. $$

Пусть

$$ y=\sqrt[3]{\frac{3x+1}{x+1}}. $$

Тогда

$$ y+y^2=-1, $$

то есть

$$ y^2+y+1=0. $$

Дискриминант:

$$ D=1-4=-3<0. $$

Значит, действительных значений $y$ нет. Проверим возможное значение $x=-1$:

$$ \sqrt[3]{0}+\sqrt[3]{-2}=\sqrt[3]{-2}, $$

что верно.

а) Ответ: $$x=-1.$$

б) Рассмотрим уравнение

$$ \sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{x-16}=\sqrt[3]{x-8}. $$

Перенесём одно слагаемое:

$$ \sqrt[3]{x}=\sqrt[3]{x-8}-\sqrt[3]{x-16}. $$

Возведём в куб:

$$ x=(x-8)-(x-16)-3\sqrt[3]{(x-8)(x-16)}\left(\sqrt[3]{x-8}-\sqrt[3]{x-16}\right). $$

После упрощения получаем

$$ 3\sqrt[3]{\frac{x-16}{x-8}}-3\sqrt[3]{\left(\frac{x-16}{x-8}\right)^2}=1,\quad x\ne 8. $$

Пусть

$$ y=\sqrt[3]{\frac{x-16}{x-8}}. $$

Тогда

$$ 3y^2-3y=1, $$

или

$$ 3y^2-3y-1=0. $$

Находим корни:

$$ D=9+12=21, $$

$$ y_{1,2}=\frac{3\pm\sqrt{21}}{6}. $$

Возвращаемся к замене:

$$ \sqrt[3]{\frac{x-16}{x-8}}=\frac{3\pm\sqrt{21}}{6}. $$

Возводим в куб и решаем относительно $x$:

$$ \frac{x-16}{x-8}=\left(\frac{3\pm\sqrt{21}}{6}\right)^3. $$

После преобразований получаем

$$ x=8\pm\sqrt{\frac{432}{7}}. $$

Проверим значение $x=8$:

$$ \sqrt[3]{8}+\sqrt[3]{-8}=\sqrt[3]{0}, $$

то есть

$$ 2+(-2)=0, $$

и это верно.

б) Ответ: $$x=8,\; x=8\pm\sqrt{\frac{432}{7}}.$$