Упр.15 Глава 1 Вопросы и задачи на повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

2) Проведите исследование функции:
а) y=sin(x)-2; б) y=-6/(x-3);
в) y=x^2-4x+3; г) y=2cos(x)+1.
3) Постройте графики этих функций.

1. При исследовании функции находят:

   • область определения и область значений;
   • чётность и периодичность;
   • точки пересечения с осями координат;
   • промежутки знакопостоянства;
   • промежутки монотонности;
   • точки экстремума и значения функции в них;
   • поведение функции в особых точках.

2. а) $$y=\sin x-2$$

   $$D(x)=\mathbb{R}, \quad E(y)=[-3;-1], \quad T=2\pi.$$

   $$y(0)=\sin 0-2=-2.$$

   Так как $$\sin x\in[-1;1],$$ то
   $$y\in[-3;-1],$$
   следовательно, $$y<0$$ при всех $$x\in\mathbb{R}$$, а нулей нет.

   Возрастает на $$\left[-\frac{\pi}{2}+2\pi n;\frac{\pi}{2}+2\pi n\right],$$
   убывает на $$\left[\frac{\pi}{2}+2\pi n;\frac{3\pi}{2}+2\pi n\right], \quad n\in\mathbb{Z}.$$

   $$x_{\max}=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad y_{\max}=-1;$$
   $$x_{\min}=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad y_{\min}=-3.$$

3. б) $$y=-\frac{6}{x-3}$$

   $$D(x)=(-\infty;3)\cup(3;+\infty), \quad E(y)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty).$$

   $$y(0)=-\frac{6}{0-3}=2.$$

   Нулей нет, так как числитель не равен нулю.

   $$y>0 \text{ при } x<3,\qquad y<0 \text{ при } x>3.$$

   Функция возрастает на каждом из промежутков $$(-\infty;3)$$ и $$ (3;+\infty).$$

   Асимптоты: $$x=3$$ и $$y=0.$$

4. в) $$y=x^2-4x+3$$

   $$y=x^2-4x+3=(x-2)^2-1.$$

   $$D(x)=\mathbb{R}, \quad E(y)=[-1;+\infty).$$

   $$y=0 \iff x^2-4x+3=0 \iff (x-1)(x-3)=0,$$
   значит,
   $$x_1=1,\quad x_2=3.$$

   $$y(0)=3.$$

   $$y>0 \text{ при } x<1 \text{ и } x>3,\qquad y<0 \text{ при } 1<x<3.$$

   Убывает на $$(-\infty;2],$$ возрастает на $$[2;+\infty).$$

   $$x_{\min}=2,\quad y_{\min}=-1.$$

5. г) $$y=2\cos x+1$$

   $$D(x)=\mathbb{R}, \quad E(y)=[-1;3], \quad T=2\pi.$$

   Функция чётная.

   $$y=0 \iff 2\cos x+1=0 \iff \cos x=-\frac12,$$
   значит,
   $$x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

   $$y(0)=2\cos 0+1=3.$$

   $$y>0 \text{ при } x\in\left(-\frac{2\pi}{3}+2\pi n;\frac{2\pi}{3}+2\pi n\right),$$
   $$y<0 \text{ при } x\in\left(\frac{2\pi}{3}+2\pi n;\frac{4\pi}{3}+2\pi n\right),\quad n\in\mathbb{Z}.$$

   Возрастает на $$[-\pi+2\pi n;2\pi n],$$
   убывает на $$[2\pi n;\pi+2\pi n],\quad n\in\mathbb{Z}.$$

   $$x_{\max}=2\pi n,\quad y_{\max}=3;$$
   $$x_{\min}=\pi+2\pi n,\quad y_{\min}=-1.$$

6. Графики этих функций строятся по указанным свойствам: для $$y=\sin x-2$$ и $$y=2\cos x+1$$ — это сдвинутые синусоида и косинусоида; для $$y=-\frac{6}{x-3}$$ — гипербола с асимптотами $$x=3$$ и $$y=0$$; для $$y=x^2-4x+3$$ — парабола с вершиной $$\left(2;-1\right).$$

Ответ

1) При исследовании функции находят область определения и значений, чётность и периодичность, точки пересечения с осями, промежутки знакопостоянства и монотонности, точки экстремума и поведение в особых точках.
2) Исследование функций выполнено выше.
3) Графики: сдвинутая синусоида, гипербола, парабола и сдвинутая косинусоида.