Упр.15 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) а и b — рациональные числа;
б) а и b — иррациональные числа;
в) а — рациональное, а b — иррациональное число?

1. Если $$a$$ и $$b$$ — рациональные числа, то их можно записать в виде
   $$a=\frac{m}{n}, \quad b=\frac{p}{k},$$
   где $$m,n,p,k \in \mathbb{Z}, \; n \ne 0,\; k \ne 0.$$
   Тогда
   $$ab=\frac{m}{n}\cdot\frac{p}{k}=\frac{mp}{nk}\in \mathbb{Q},$$
   и
   $$a+b=\frac{m}{n}+\frac{p}{k}=\frac{mk+pn}{nk}\in \mathbb{Q}.$$
   Значит, сумма и произведение рациональных чисел — рациональные.
2. Если $$a$$ и $$b$$ — иррациональные числа, то сумма и произведение могут быть как рациональными, так и иррациональными.
   Например,
   $$\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}=3\in \mathbb{Q},$$
   но
   $$\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}=\sqrt{6}\notin \mathbb{Q};$$
   $$\left(1-\sqrt{2}\right)+\left(1+\sqrt{2}\right)=2\in \mathbb{Q},$$
   но
   $$\left(1+\sqrt{2}\right)+\left(1+\sqrt{2}\right)=2+2\sqrt{2}\notin \mathbb{Q}.$$
   Следовательно, в этом случае ответ зависит от конкретных чисел.
3. Если $$a$$ — рациональное, а $$b$$ — иррациональное число, то:
   — сумма $$a+b$$ может быть рациональной, если $$a$$ и $$b$$ взаимно компенсируются, например $$1+\left(-1+\sqrt{2}\right)=\sqrt{2}$$;
   — произведение $$ab$$ при $$a\ne 0$$ обычно иррационально, а при $$a=0$$ равно $$0$$, то есть рационально.

   Поэтому в общем случае сумма и произведение могут быть иррациональными, но не всегда.

Ответ

а) рациональны;
б) могут быть как рациональными, так и иррациональными;
в) в общем случае сумма и произведение не обязаны быть рациональными, при этом при $$a\ne 0$$ произведение $$ab$$ иррационально.