Упр.148 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Задача

а) v(x-2)+v(1-x)=17;
б) (x(2-x))^(1/4)+(x^4(2-x)^7(x+3)^5)^(1/3)+((x-2)(x+1)x^2)^(1/6)+((x+2)(x+6))^(1/5)=2.

Подробный ответ

а)

$$\sqrt{x-2}+\sqrt{1-x}=17.$$

Область определения:

$$x-2\ge 0,\qquad 1-x\ge 0.$$

Одновременно эти неравенства выполняться не могут, так как должно быть

$$x\ge 2 \quad \text{и} \quad x\le 1.$$

Следовательно, уравнение не имеет действительных решений.

б)

$$\sqrt[4]{x(2-x)}+\sqrt[3]{x^2(2-x)^7(x+3)^5}+\sqrt[6]{(x-2)(x+1)x^2}+\sqrt[5]{(x+2)(x+6)}=2.$$

Найдём область определения:

$$x(2-x)\ge 0 \;\Rightarrow\; 0\le x\le 2,$$
$$x^2(2-x)^7(x+3)^5\ge 0 \;\Rightarrow\; -3\le x\le 2 \text{ или } x=0,$$
$$ (x-2)(x+1)x^2\ge 0 \;\Rightarrow\; x\le -1,\; x\ge 2 \text{ или } x=0,$$
$$ (x+2)(x+6)\ge 0 \;\Rightarrow\; x\le -6 \text{ или } x\ge -2.$$

Пересечение всех условий даёт только

$$x=2.$$

Проверим:

$$\sqrt[4]{2\cdot(2-2)}+\sqrt[3]{2^2\cdot(2-2)^7\cdot(2+3)^5}+\sqrt[6]{(2-2)(2+1)\cdot 2^2}+\sqrt[5]{(2+2)(2+6)}=0+0+0+\sqrt[5]{32}=2.$$

Равенство верно.